逻辑门与布尔代数

布尔代数基础

三种基本运算

与 (AND):  Y = A · B    "都1才1"
或 (OR):   Y = A + B    "有1就1"
非 (NOT):  Y = Ā        "取反"

真值表

AND          OR           NOT
A B | Y     A B | Y      A | Y
0 0 | 0     0 0 | 0      0 | 1
0 1 | 0     0 1 | 1      1 | 0
1 0 | 0     1 0 | 1
1 1 | 1     1 1 | 1

基本定理

结合律:  (A·B)·C = A·(B·C)
         (A+B)+C = A+(B+C)
交换律:  A·B = B·A
         A+B = B+A
分配律:  A·(B+C) = A·B + A·C

德摩根定理 (极其重要!):
  ───
  A·B = Ā + B̄     "与的非 = 非的或"
  ───
  A+B = Ā · B̄     "或的非 = 非的与"

归约:
  A + Ā = 1
  A · Ā = 0
  A + 1 = 1
  A · 0 = 0
  A + A = A
  A · A = A
  =    (双重否定)
  A = A

基本逻辑门

符号与表达式

AND:     A ──┬──
              │  )── Y    Y = A·B
         B ──┴──

OR:      A ──┬──
              │  )── Y    Y = A+B
         B ──┴──

NOT:     A ──▷── Y        Y = Ā

NAND:    A ──┬──
              │  )─○ Y    Y = A·B̄  (AND + NOT)
         B ──┴──

NOR:     A ──┬──
              │  )─○ Y    Y = A+B̄  (OR + NOT)
         B ──┴──

XOR:     A ──┬──
              │  )── Y    Y = A⊕B = ĀB + AB̄
         B ──┴──            ("不同为1")

XNOR:    A ──┬──
              │  )─○ Y    Y = A⊕B̄  ("相同为1")
         B ──┴──

NAND / NOR 的通用性

NAND 可以实现任何逻辑函数!
  NOT:  A NAND A = Ā
  AND:  (A NAND B) NAND (A NAND B) = A·B
  OR:   (A NAND A) NAND (B NAND B) = A+B

NOR 同理可以构建一切
这就是为什么 NAND Flash 和 NOR Flash 得名于此

组合逻辑化简

卡诺图 (Karnaugh Map)

2变量:
    B
  A 0  1
  0 0  1
  1 1  0   ← 填入输出值

3变量:  AB/C 排列
  圈相邻的1 (2ⁿ 个一组) → 写出最小项 → 得到最简表达式

目的: 用最少门实现给定真值表

竞争与冒险

多个信号路径延迟不同 → 输出出现短暂错误脉冲 (glitch)

例: A 和 Ā 应该同时到达 AND 门，但 Ā 经过反相器有延迟
     → 短暂瞬间 A=1, Ā=1 (还没变0) → AND 输出错误 1

解决: 加冗余项 或 在输出加电容滤波

逻辑电平

TTL vs CMOS

       TTL (5V)         CMOS (5V)       CMOS (3.3V)
VIH:   > 2.0V           > 3.5V          > 2.0V
VIL:   < 0.8V           < 1.5V          < 0.8V
VOH:   > 2.4V           > 4.4V          > 2.9V
VOL:   < 0.4V           < 0.1V          < 0.4V

噪声容限 = min(VOH-VIH, VIL-VOL)
CMOS 噪声容限明显优于 TTL

输入类型

浮空输入 — 千万不要! CMOS 输入浮空 = 不确定状态 + 大功耗
未用的输入引脚: 接 Vcc 或 GND (通过电阻)

实际门电路

CMOS 反相器

       Vdd
        │
    ┌───┤ PMOS (上管)
    │   │
A ──┤   ├── Y
    │   │
    └───┤ NMOS (下管)
        │
       GND

A=1 → NMOS ON, PMOS OFF → Y=0
A=0 → NMOS OFF, PMOS ON → Y=1

CMOS 最大优势: 静态功耗几乎为零!
(只在切换瞬间耗电)

74 系列速查

74HC00:  四路 2输入 NAND
74HC02:  四路 2输入 NOR
74HC04:  六路 NOT (反相器)
74HC08:  四路 2输入 AND
74HC32:  四路 2输入 OR
74HC86:  四路 2输入 XOR
74HC14:  六路 施密特触发 NOT
74HC595: 8位移位寄存器 (超常用!)
74HC165: 8位并行→串行

关键词: 布尔代数, AND, OR, NOT, NAND, NOR, XOR, 德摩根, 卡诺图, CMOS, TTL