インダクタとトランス

スイッチがオンになるとインダクタ電流が上昇し、オフ後も流れ続けるための経路が必要です。トランスで二次巻数を増やすことで電圧を昇圧できますが、そこから無から有用な電力を同時に生み出すことはできません。これらの現象を理解するには、「交流を遮断し直流を通過させる」といった暗記ではなく、ポート電圧、電流変化、磁束、エネルギーを同じ極性の約束（符号規約）の中に置く必要があります。

インダクタの極性とエネルギー蓄積

磁気鎖束 λ は、巻線の各ターンが鎖磁する磁束の和です。各ターンでの磁束が同じであると近似できる場合、λ = NΦ となります。線形でパラメータが固定されたモデルでは λ = Li です。電流が電圧の正極に入るという受動符号規約を採用すると、ポート電圧は v = dλ/dt = L·di/dt となります。一般的な誘起起電力 ε = −dλ/dt は別の方向定義を使用しており、負号はレンツの法則による変化への抵抗を表します。2つの定義を混同して同じ KVL 式に組み込んではいけません。

10 μH のインダクタに +1 V を印加すると、電流の勾配は +0.1 A/μs になります。−1 V を印加すると勾配は −0.1 A/μs になります。インダクタは常に「電流を妨げている」わけではなく、電圧が電流の変化速度を決定しています。電流がすでに正の値を持っている状態で負の電圧を印加すると、電流は一時的に正のままであり続け、インダクタは負の電力を吸収して外部にエネルギーを放出します。

線形モデルにおけるエネルギー蓄積 E = ½Li² は、i·dλ の積分から導かれます。10 μH、2 A の場合、蓄積エネルギーは 20 μJ です。非線形な磁心では、実際の磁鎖束-電流関係に従って積分する必要があり、同じ L で飽和近辺の全過程をカバーできると仮定してはいけません。

有限のインダクタでは、インパルス電圧がない限り電流は連続です。スイッチをオフにしても、電流が自動的にゼロになるわけではありません。フリーホイーリングダイオード、同期スイッチ、クランプ回路、または寄生容量を通じて再分配される可能性があります。10 μH のインダクタ内の 2 A を 10 ns 以内にゼロに減らそうとすると、単純な勾配推定では約 −2000 V が必要になります。実際のピーク値は寄生要素や保護経路によって制約されます。これが、2000 V が実際に必ず発生するという主張をするのではなく、遮断時のエネルギーの行き先を設計する必要がある理由です。

一次元 RL 回路の時定数 τ = L/R_seen であり、R_seen には実際のループ抵抗が含まれます。直流定常状態で電流が有限で一定であれば、理想インダクタの電圧降下はゼロになります。実際の巻線には DCR（直流抵抗）による電圧降下があります。理想インダクタを定数の非ゼロ理想電圧源に直接接続すると、電流は線形に上昇し続け、抵抗のないこのモデルには有限の定常状態が存在しません。

Buck の1周期の導出：伏秒積を用いたリップルの算出

理想的な連続導通モード（CCM）の Buck コンバータを考えます。Vin = 12 V、Vout = 5 V、スイッチング周波数 500 kHz、L = 10 μH、出力平均電流 2 A とします。周期 T = 2 μs で、出力電圧は1周期内でほとんど変化しないと仮定します。インダクタ電圧をスイッチノード電圧から出力電圧を引いたものとして定義します。

周期定常状態では、次の周期の開始点で電流が同じになる必要があるため、インダクタの1周期あたりの平均電圧はゼロでなければなりません。D(Vin−Vout)+(1−D)(−Vout)=0 となり、D = Vout/Vin = 5/12 が得られます。オン時間は約 0.833 μs で、リップル峰々値 ΔI = 7×0.833/10 ≈ 0.583 A です。後半の下降分も同じ量になります。

平均電流 2 A の場合、ピークは約 2.292 A、バレーは約 1.708 A となり、バレーはゼロより大きいため、ここでの CCM 仮定に適合します。この三角波リップルに対して、I_rms² = I_avg² + ΔI²/12 です。DCR が 40 mΩ の場合、巻線の直流抵抗による損失は約 0.161 W です。これには交流巻線損失や磁心損失は含まれていません。

負荷が十分に低下すると、電流は不連続モード（DCM）に入る可能性があります。この場合、フリーホイーリング時間がオフ期間全体を占めるとは限らず、同じデューティ比-出力関係を加味せずに使い続けることはできません。実際のダイオード順方向電圧降下、スイッチのオン抵抗、デッドタイム、制御方式も波形を補正します。

正負のボルト秒は釣り合う？

5/12 から外すと終端電流が初期値とずれる。その差は次周期の初期条件になるが、実回路では出力と制御も変化するため固定出力を無限に繰返せない。下図は電圧面積を電流の増減へ変換する。

$$\Delta i=\frac{1}{L}{\int }_0^T{v}_L(t)dt=\frac{T}{L}(D{V}_{in}-V_{out})$$

実用的なインダクタパラメータ：電流上限は1つだけではない

Isat は一般的に「L が特定の割合だけ低下する」として定義されており、統一された突然の故障電流ではありません。メーカーやシリーズによって低下の基準が異なる場合があります。飽和すると有効インダクタンスが低下し、同じ電圧下で di/dt が増加しますが、電流が制御不能になるかどうかは保護や回路に依存します。Irms は Isat を置き換えるものではありません。ピークが磁性制限に達していないデバイスでも、過熱する可能性があります。Coilcraft：DC-DC インダクタの選択

理想的な正弦定常状態では、インピーダンス Z_L = jωL であり、誘導性リアクタンスの大きさは 2πfL で、電圧は電流より 90° 位相が進みます。実際のインダクタの寄生容量により自己共振が発生し、対応する領域を超えると容量性として振る舞い、インピーダンスは無限に上昇しなくなります。デバイスを集積型インダクタとして使用する場合は、目標周波数帯域での誘導性と Q を確認する必要があります。広帯域ノイズ抑制に使用する場合は、複素インピーダンス曲線全体を見る必要があり、SRF をすべての用途に対する絶対的な禁忌領域として単純に扱うことはできません。

トランスとドット（点）表記

2つの巻線は共通の磁束によって結合されます。理想トランスは損失、漏れ磁束、有限の励磁電流を無視し、統一されたドット（点）の極性に基づき、v₂/v₁ = N₂/N₁ = n となります。ドット表記は相対的な巻向きの方向を示します。両側の電圧をドット端子を正として取ると、電圧は同相になります。片側の端子を入れ替えると、定義される出力極性も反転します。

図では一次側電流 i₁ がドット端子に入り、二次側負荷電流 i₂ がドット端子から出ています。理想の電力平衡は v₁i₁ = v₂i₂ であるため、i₂/i₁ = N₁/N₂ となります。両方の電流をドット端子への流入として定義すると、アンペアターン関係は N₁i₁ + N₂i₂ = 0 と書かれます。方向を明示せずに電流比を書くと、符号を見落としやすくなります。

例えば N₁ = 20、N₂ = 10 で、一次の正弦電圧の実効値が 10 V の場合、二次は 5 V になります。二次に 10 Ω の抵抗を接続すると、出力電流は 0.5 A、電力は 2.5 W となり、理想の一次電流は 0.25 A です。一次側から見たインピーダンスは Z_in = Z_L/n² = 40 Ω となります。これはポートが提示するインピーダンスを変化させますが、余分な電力を生み出すものではありません。

実際のトランスでは、磁束を確立するために有限の励磁インダクタンスが必要であるため、無負荷でも励磁電流と損失が発生します。リークインダクタンスは完全に結合されていない磁界部分に対応し、電流切り替え時にスパイクを発生させる可能性があります。巻線抵抗による銅損、磁心のヒステリシスや渦電流による損失があり、巻線間の容量により高周波のコモンモード電流が通過します。2つの巻線間に直流の導通経路がないからといって、すべての周波数で完全に結合電流がないわけではなく、安全絶縁等級を自動的に満たすことを意味するわけではありません。

伏秒積と磁束オフセット

有効断面積 Ae、巻数 N、および磁束がほぼ均一であると仮定したモデルでは、巻線の誘起電圧の積分により ΔB = ∫vdt/(NAe) が得られます。一定電圧パルスに対しては ΔB = VΔt/(NAe) となり、ここで計算されるのは磁束密度の変化量であり、初期磁束を無視した絶対的な B ではありません。

N = 20、Ae = 25 mm² と仮定し、12 V を 2 μs 間印加すると、ΔB = 0.048 T となります。その後、磁束を適切な位置に戻すための十分な逆伏秒積がない場合、次の周期では既存のオフセットの上にさらに増加します。飽和に近づいているかどうかは、初期 B、材料、温度、および完全なリセット波形によって決まります。1回計算して ΔB が小さかったからといって、長期的な周期運転が安全である証明にはなりません。

気隙を増やすと磁路の磁気抵抗が増加し、同じ巻線電流で磁束を制限するのに役立ち、エネルギー蓄積型デバイスの磁界エネルギーの大部分が気隙などの低透磁率領域に位置するようになります。しかし、規定された巻線電圧と作用時間に対して、ΔB は依然として伏秒積と NAe によって決定されます。⁠気隙を追加することは、電圧励磁下での磁束リセットに代わるものではありません。

実際のトランス巻線に一定の直流を継続的に印加すると、磁束と励磁電流は非線形性、巻線抵抗、電源制限を受けるまで上昇し続け、匝比の式のように安定した変換直流を継続して出力することはありません。工周正弦波、双極パルス、リセット付きスイッチング波形など、トランスを励磁する方法は様々ですが、重要なのは完全な波形が磁性設計と適合していることです。

フォワードとフライバック：いつエネルギーが負荷に送られるか

フライバックデバイスはしばしば「フライバックトランス」と呼ばれますが、エネルギー蓄積と時間分割伝達を解析する際には結合インダクタとして扱うべきです。TI：フライバック動作プロセス

n = N₂/N₁ を定義し、損失と電圧降下を無視して対応する連続導通定常状態を取ると、フライバックでは Vout/Vin = nD/(1−D) となります。この式は磁化インダクタの伏秒積平衡から導出されたものであり、負荷や第3の段階を無視して任意の不連続状態に適用することはできません。周期あたりに伝達される磁化エネルギーは ½L_m(I_peak²−I_valley²) です。バレーがゼロに戻る特定の状況のみが、½L_mI_peak² に簡略化されます。

フォワードの出力インダクタは、振幅 nVin のパルスによって駆動されるものと同様であり、理想 CCM では Vout/Vin = nD となり、巻数比 n を漏らすことはできません。許容されるデューティ比は磁束リセット方式によって制約されるため、すべてのフォワードトポロジに対して無条件の上限を一律に設定すべきではありません。TI：フォワード設計と巻数比

from fractions import Fraction as F
from math import isclose
vin, vout, inductance, frequency = F(12), F(5), F(1,100000), F(500000)
duty = vout/vin
period = 1/frequency
ripple = (vin-vout)*duty*period/inductance
assert ripple == F(7,12)
assert ripple == vout*(1-duty)*period/inductance
average = F(2)
peak, valley = average+ripple/2, average-ripple/2
assert peak == F(55,24) and valley == F(41,24)
copper_loss = (average**2+ripple**2/12)*F(4,100)
assert isclose(12*2e-6/(20*25e-6), .048)
n = F(1,2)
assert F(10)/n**2 == 40
print(f"リップル {float(ripple):.6f} A、ピーク {float(peak):.6f} A、DCR 損失 {float(copper_loss):.6f} W")

この例の計算は、理想モデル内の伏秒積、リップル、電力、巻数比の関係を検証するだけであり、実際の電源を動作させているわけではありません。実際の選定では、最悪の入力、デューティ比、起動および電流制限閾値を持ち込み、インダクタンスの低下、昇温、磁心損失、遮断波形を同時に確認する必要があります。次の章 バンド理論とドーピング では、半導体デバイスの材料基礎に入ります。