サンプリングとディジタル制御

ソフトウェアは離散時刻に測定と操作を更新しますが、その間も対象は変化します。動的モデルの厳密な更新式を使い、サンプリング、保持、計算遅延、数値積分を区別します。

一回の測定と保持

$t_k=k{T}_s$で$y_k$を測定して$u_k$を計算し、次の更新まで保持します。これが零次ホールドです。まず追加の計算・通信遅延がないと仮定します。$T_s$は実際の制御周期で、画面の更新周期ではありません。

$\dot{x}=-x+u$の入力を区間内で一定にすると、厳密な離散モデルは

$$x_{k+1}=a{x}_k+b{u}_k,a=e^{-T_s},b=1-a.$$

$u_k$が区間$[k{T}_s,(k+1)T_s)$に作用して次の状態を作ります。未来の状態で現在の操作を決めてはいけません。この偏差モデルは正負の操作を許し、飽和はありません。

連続系で安定でも、サンプリングすると？

連続帰還$u=-Kx$は$\dot{x}=-(1+K)x$となり、$K>0$で安定です。一方、サンプル値帰還では

$$x_{k+1}=p_d{x}_k,p_d=a-(1-a)K.$$

状態は$p_d^k$に従うため、漸近安定には$|p_d|<1$が必要です。$K=2$なら$p_d=3e^{-T_s}-2$より

$$0<T_s<\ln 3\approx 1.099\mathrm{s}.$$

0.2 sでは倍率約0.456で単調減衰、1 sでは−0.896で符号を交互に変えながら減衰、1.2 sでは−1.096で発散します。これは厳密な対象計算でも残る、実際のサンプリングと保持の効果です。

$x_0=1$から開始し、同じ12 sの観測窓で周期を変えます。標本点と区間内の連続応答を比較してください。点間は直線補間ではなく、一定入力での厳密解です。

1サンプルの遅れは記憶を増やす

前回の操作を実行するなら$u_k=-K{x}_{k-1}$なので、

$$x_{k+1}=a{x}_k-bK{x}_{k-1},z^2-az+bK=0.$$

古い状態や待機中の操作を保存する必要があります。$K=2,T_s=0.5$では遅れなしの極は−0.180、遅れありの共役根の大きさは$\sqrt{2(1-e^{-0.5})}\approx 0.887$です。$T_s=0.8$では、遅れなしは−0.652で安定ですが、遅れありは根の大きさ1.049で不安定になります。

離散LTI系では、閉ループの全固有値が単位円の厳密な内側にあることが必要です。$z=e^{s{T}_s}$は連続自由モードの厳密な標本化に対応します。サンプル間で操作を保持する帰還系は、連続閉ループの極をそのまま写すだけでは通常求まりません。

積分刻み幅は別の量

連続系$\dot{x}=-3x$をEuler法で計算すると$x_{j+1}=(1-3h)x_j$です。$h=1$では倍率−2で数値発散しますが、厳密解$x=e^{-3t}{x}_0$は減衰します。

制御周期と遅延を固定し、積分刻みだけを小さくして収束を確認します。零次ホールドの厳密離散化ならこの数値誤差を避けられますが、測定の折り返しや計算遅延は残ります。

離散PIDの更新順序

前進積分は$z_{k+1}=z_k+K_i{T}_s{e}_k$です。測定保持に対するフィルタは$y_{f,k+1}=\alpha y_{f,k}+(1-\alpha )y_{m,k}$、$\alpha =e^{-T_s/{\tau }_f}$と書けます。現在の操作に更新前・更新後のどちらの状態を使うか明示します。

アンチエイリアスフィルタはサンプリング前に作用し、事後の平滑化では失われた情報を復元できません。フィルタ自体の位相遅れもあります。帯域、計算・通信予算、対象のモードから周期を選び、最悪遅延とジッタを検証します。万能な周期倍率はありません。

理解を確かめる

$K=2,T_s=\ln 3$で倍率−1は漸近安定ですか。

ブラウザのフレームレートを下げると極や制御周期も変わるべきですか。

発展資料

python-controlのsample_systemでは複数の離散化法を選べます。実際の保持機構に合わせてモデルを作ってから設計します。