Littleの法則と統計の境界

Littleの法則 $L=\lambda E[T]$ は、平均系内数、流量、平均滞在時間を結びます。強みは境界を揃えた記帳にあり、Poisson到着を必要としません。ただし平均時間をp99に置き換えることはできません。

面積が滞在時間の総和になる理由

区間 $[0,H]$ における要求 $i$ の占有寄与は指示関数 $1\{a_i\le t<d_i\}$ です。要求を足し合わせて積分すると：

$${\int }_0^{H}N(t)dt=\sum _i\left|[a_i,d_i)\cap [0,H]\right|.$$

これは確率を仮定しない標本路の恒等式です。両辺の単位は要求·s。窓の前からいる要求や、窓の後に完了する要求も、共通部分だけを数えれば正しく寄与します。

始点と終点で空になり、窓内に到着した $m$ 要求がすべて退出するなら：

$${\bar{N}}_H=\frac{1}{H}\sum _{i=1}^m{T}_i=\frac{m}{H}\cdot \frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{T}_i.$$

長期到着率と平均滞在時間が存在し、境界の残余寄与を $H$ で割った値が0へ向かうなどの条件で、$L=\lambda E[T]$ が得られます。定常状態はよく使う解析の枠組みであり、有限窓の面積恒等式の前提ではありません。短時間落ち着いて見えるだけで極限条件は保証されません。

観測の打切りが落とすもの

実験は到着 $[0,1,2,6]$ s、処理時間 $[3,1,2,1]$ sです。$H=5$ sでは最初の2件が完了しています。占有面積は $3+3+3=9$ 要求·s、平均系内数は1.8。完了率 $2/5$ と完了者の平均3 sの積は1.2で、差は未完了の3件目が既に寄与した3要求·sです。

終点を7 s以後へ動かすと全件完了し、境界寄与が0になります。さらに観測を延ばすと空の時間だけが増え、二つの計算結果は一緒に下がります。窓の長さも統計の定義に含まれます。

境界、対象群、期間を揃える

安定したプールで受付率200/s、平均接続保持時間40 msなら、平均占有接続数は $200\times 0.040=8$。これは接続を8本に設定すれば待ち時間目標を満たすという意味ではありません。平均占有と同じ容量では変動への余裕を別途確保できません。

待機区では $L_q=\lambda E[W_q]$、全体では $L=\lambda E[T]$。外部1000/sのうち800/sだけ入るなら、内部占有には800/sを使います。失敗や取消も退出に含めるなら、その群の滞在時間も含めます。成功スループットだけと全試行の在途数を組み合わせてはいけません。

再試行では一つの業務要求に複数の試行が対応します。業務単位なら最初の発行から最終結果まで、試行単位なら各回の入退場を測ります。どちらも有用ですが、個数と時間を混ぜられません。

確認問題

1. 平均系内数50、完了率500/sなら、p99は100 msですか。

2. 障害中に系内数が増えても完了者平均が低いとき、法則が破れたのでしょうか。

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MIT 2026年講義はLittleの法則と部分システムへの適用を扱います。上の打切り例は独自の時刻列から直接導いたものです。