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title: Littleの法則と統計の境界
url: https://doc.liz6.com/ja/theory/03-queueing-theory/02-littles-law
locale: ja
area: theory
tags:
- 待ち行列理論
- 基礎理論
date: 2026-09-10
modified: 2026-09-10
description: Littleの法則 $L=\lambda E[T]$ は、平均系内数、流量、平均滞在時間を結びます。強みは境界を揃えた記帳にあり、Poisson到着を必要としません。ただし平均時間をp99に置き換えることはできません。
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# Littleの法則と統計の境界

Littleの法則 $L=\lambda E[T]$ は、平均系内数、流量、平均滞在時間を結びます。強みは境界を揃えた記帳にあり、Poisson到着を必要としません。ただし平均時間をp99に置き換えることはできません。

## 面積が滞在時間の総和になる理由

区間 $[0,H]$ における要求 $i$ の占有寄与は指示関数 $\mathbf1\{a_i\le t<d_i\}$ です。要求を足し合わせて積分すると：

$$\int_0^H N(t)\,dt=\sum_i\left|[a_i,d_i)\cap[0,H]\right|.$$

これは確率を仮定しない標本路の恒等式です。両辺の単位は要求·s。窓の前からいる要求や、窓の後に完了する要求も、共通部分だけを数えれば正しく寄与します。

始点と終点で空になり、窓内に到着した $m$ 要求がすべて退出するなら：

$$\bar N_H=\frac1H\sum_{i=1}^{m}T_i=\frac mH\cdot\frac1m\sum_{i=1}^{m}T_i.$$

長期到着率と平均滞在時間が存在し、境界の残余寄与を $H$ で割った値が0へ向かうなどの条件で、$L=\lambda E[T]$ が得られます。定常状態はよく使う解析の枠組みであり、有限窓の面積恒等式の前提ではありません。短時間落ち着いて見えるだけで極限条件は保証されません。

## 観測の打切りが落とすもの

実験は到着 $[0,1,2,6]$ s、処理時間 $[3,1,2,1]$ sです。$H=5$ sでは最初の2件が完了しています。占有面積は $3+3+3=9$ 要求·s、平均系内数は1.8。完了率 $2/5$ と完了者の平均3 sの積は1.2で、差は未完了の3件目が既に寄与した3要求·sです。

**Littleの法則と統計の境界 · 実験**

到着[0,1,2,6] s、処理時間[3,1,2,1] s。観測終点を変え、全占有面積と完了ジョブだけの寄与を比べます。初期は空、拒否はありません。


終点を7 s以後へ動かすと全件完了し、境界寄与が0になります。さらに観測を延ばすと空の時間だけが増え、二つの計算結果は一緒に下がります。窓の長さも統計の定義に含まれます。

## 境界、対象群、期間を揃える

安定したプールで受付率200/s、平均接続保持時間40 msなら、平均占有接続数は $200\times0.040=8$。これは接続を8本に設定すれば待ち時間目標を満たすという意味ではありません。平均占有と同じ容量では変動への余裕を別途確保できません。

待機区では $L_q=\lambda E[W_q]$、全体では $L=\lambda E[T]$。外部1000/sのうち800/sだけ入るなら、内部占有には800/sを使います。失敗や取消も退出に含めるなら、その群の滞在時間も含めます。成功スループットだけと全試行の在途数を組み合わせてはいけません。

再試行では一つの業務要求に複数の試行が対応します。業務単位なら最初の発行から最終結果まで、試行単位なら各回の入退場を測ります。どちらも有用ですが、個数と時間を混ぜられません。

## 確認問題

1. 平均系内数50、完了率500/sなら、p99は100 msですか。

<details><summary>考え方</summary>

長期の境界が一致すれば平均系内時間が100 msと分かるだけです。同じ平均を持つ分布でも裾は異なります。分位点には要求単位の分布か追加モデルが必要です。

</details>

2. 障害中に系内数が増えても完了者平均が低いとき、法則が破れたのでしょうか。

<details><summary>考え方</summary>

遅い要求が未完了で統計から抜けている可能性があります。瞬時の系内数も時間平均とは違います。窓内面積、未完了者の既経過時間、窓の前に入った要求を確認し、長期モデルの条件も検討します。

</details>

## 続けて読む

[MIT 2026年講義](https://web.mit.edu/1.041/www/lectures/L8-queuing-models-2026sp.pdf)はLittleの法則と部分システムへの適用を扱います。上の打切り例は独自の時刻列から直接導いたものです。