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title: 响应与稳定性
url: https://doc.liz6.com/theory/02-control-theory/03-response-and-stability
locale: zh
area: theory
tags:
- 控制理论
- 基础理论
date: 2026-09-10
modified: 2026-09-10
description: 一条温度曲线最后接近目标，并不自动说明控制器在所有条件下稳定；两条都稳定的曲线，也可能在速度和超调上差别很大。本篇把这些判断拆开。需要动态建模中的状态、平衡与指数响应。
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# 响应与稳定性
一条温度曲线最后接近目标，并不自动说明控制器在所有条件下稳定；两条都稳定的曲线，也可能在速度和超调上差别很大。本篇把这些判断拆开。需要[动态建模](02-dynamic-models.md)中的状态、平衡与指数响应。
## 自由响应与输入响应
对线性模型，响应可分成初始状态产生的自由响应，与输入产生的强迫响应。温控的一阶模型在恒定输入下有
$$\theta(t)=\theta_\infty+(\theta_0-\theta_\infty)e^{-t/\tau}.$$
第二项描述初始偏离的衰减。改变初始温度与改变目标值是不同试验；判断控制器时要记录初值、输入、扰动、观察时间和执行器上限。
## 一阶响应为什么不振荡？
对一阶热对象施加 $u=u_b+K_p(r-\theta)$，在未饱和、无延迟、参数为正时，偏离新平衡的状态满足
$$\dot x=-\frac{k+P_{\max}K_p}{C_{\mathrm{th}}}x.$$
因此闭环时间常数为 $C_{\mathrm{th}}/(k+P_{\max}K_p)$。取 $K_p=0.04$，得到 $2000/(20+40)=33.33$ s。其响应单调回归平衡，增大正增益并不会凭空产生第二个状态。实际高增益出现振荡时，需要查找被忽略的传感器滤波、执行器动态、积分或延迟。
## 两个状态怎样带来振荡？
质量—弹簧—阻尼系统满足
$$m\ddot q+b\dot q+k_s q=F.$$
位置 $q$ 与速度 $v=\dot q$ 都是状态。物体经过平衡位置时仍可能有速度，于是继续运动；阻尼不断消耗机械能。对单位静态增益的标准二阶系统，写成
$$\ddot y+2\zeta\omega_n\dot y+\omega_n^2y=\omega_n^2r,$$
其中 $\omega_n=\sqrt{k_s/m}$、$\zeta=b/(2\sqrt{mk_s})$。$\omega_n$ 单位为 rad/s，$\zeta$ 无量纲。$0<\zeta<1$ 是欠阻尼，$\zeta=1$ 是临界阻尼，$\zeta>1$ 是过阻尼。这些称呼针对该二阶模型。
当初值为零、$r$ 是单位阶跃、$0<\zeta<1$ 时，令 $\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$：
$$y(t)=1-e^{-\zeta\omega_nt}\left[\cos(\omega_dt)+\frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin(\omega_dt)\right].$$
指数包络衰减，正弦项在包络内往复变化。第一峰超调比例为 $M_p=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$。取 $\omega_n=1$、$\zeta=0.5$，峰值时间 $t_p=\pi/\omega_d\approx3.63$ s，超调约16.3%。
**响应与稳定性 · 实验**
零初态、单位阶跃、标准二阶模型。速度在输出峰谷处为零；超调公式只对0<ζ<1使用。20 s窗口内的轨迹不代替一般稳定性证明。
改变阻尼，比较输出与速度。速度穿过零的位置对应输出的峰或谷；曲线穿过目标时，速度通常不为零。临界阻尼在该标准模型中无振荡，但“任何系统临界阻尼都最快”不是通用结论。
## 稳定性究竟在说什么？
| 概念 | 关心的问题 | 需要注意 |
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| Lyapunov 稳定 | 初始足够接近平衡，是否一直保持接近 | 不要求最终回到平衡 |
| 渐近稳定 | 除了保持接近，是否还收敛到平衡 | 局部结论不等于任意初值都收敛 |
| BIBO 稳定 | 零初值下，每个有界输入是否都产生有界输出 | 不一定揭示不可见的内部模态 |
标准二阶模型中 $\zeta>0$ 时两个模态衰减；$\zeta=0$ 的理想无阻尼系统自由振荡有界却不衰减，对共振频率的有界正弦输入可产生无界响应。因此“自由振荡幅度有限”不能证明 BIBO 稳定。$\zeta<0$ 则是负阻尼，扰动会被放大。
一般非线性系统可用能量式函数寻找稳定性证据。例如无输入机械系统的 $V=\tfrac12mv^2+\tfrac12k_sq^2$ 满足 $\dot V=-bv^2\le0$。这说明能量不增加；若进一步证明 $\dot V=0$ 中唯一可长期停留的轨迹是原点，才得到该系统的渐近收敛。完整 Lyapunov 与不变集方法属于后续专题。
## 指标是有定义的测量
上升时间必须说明采用10%–90%还是其他阈值；调节时间是进入指定误差带后不再离开的时间；超调以终值或指定阶跃幅度为基准。常用 $t_s\approx4/(\zeta\omega_n)$ 是欠阻尼二阶系统2%带宽下的工程近似，不能替代所有情况下的精确判断。
有限窗口仿真只能报告“本窗口内最后进入误差带的位置”，不能保证未来不再越界。目标为零时，百分比误差带没有天然尺度，应给出绝对容差。稳定性、稳态误差、速度、控制功率要分别报告。
## 自检
一个系统以固定幅度持续振荡。它是否渐近稳定？这条轨迹能否证明 BIBO 稳定？
参考思路
没有回到平衡，因此这条自由响应不表现为渐近收敛。单条有界轨迹也无法证明对所有有界输入都输出有界；无阻尼谐振器就是反例。
参考思路
超调仍为约16.3%，因为只由$\zeta$决定；第一峰时间减半为约1.81 s。这里假定没有额外零点、延迟或饱和。