Little 定律与统计口径

Little 定律 $L=\lambda E[T]$ 连接平均在途数量、流量和平均停留时间。它的力量来自一致的记账边界；不要求 Poisson 到达，也不能把平均时间换成 p99。

面积为什么等于累计停留时间

在观察区间 $[0,H]$，请求 $i$ 对占用曲线的贡献为指示函数 $1\{a_i\le t<d_i\}$。把请求逐个相加，再积分：

$${\int }_0^{H}N(t)dt=\sum _i\left|[a_i,d_i)\cap [0,H]\right|.$$

这是逐条轨迹成立的恒等式，没有概率假设。左边单位为请求·s；右边是每个请求在窗口内实际贡献的时间。即使请求在窗口前进入或窗口后离开，交集仍会正确截取贡献。

若窗口开始和结束都为空，期间进入的 $m$ 个请求全部离开，则：

$${\bar{N}}_H=\frac{1}{H}\sum _{i=1}^m{T}_i=\frac{m}{H}\cdot \frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{T}_i.$$

对稳定系统，在长期到达率和平均停留时间存在、边界剩余贡献除以 $H$ 趋于零等条件下，得到 $L=\lambda E[T]$。稳态是常用的充分分析框架，不是有限窗口面积恒等式的前提。仅有短时间看起来平稳，并不保证这些极限条件。

截止窗口最容易漏掉什么

本实验到达 $[0,1,2,6]$ s，服务 $[3,1,2,1]$ s。在 $H=5$ s 截止，前两项完成，系统占用面积为 $3+3+3=9$ 请求·s，所以平均在途为 1.8。只统计已完成请求会得到完成率 $2/5$，完成者平均时间 3 s，两者相乘为 1.2；差值来自第三个请求尚未完成的 3 请求·s。

把终点拖到 7 s 以后，四个请求均已完成，边界贡献变为零。观察窗口继续延长只增加空闲时间，两种计算会一起下降。这说明窗口长度本身也是统计口径的一部分。

工程使用：统一三件事

必须统一边界、请求群、时间范围⁠。稳定连接池的接纳率 200/s，平均持有 40 ms，则平均被占用连接数为 $200\times 0.040=8$。这是平均占用关系，不表示配置 8 个连接就能满足等待目标；容量等于平均占用会缺少应对波动的余量。

对等待区单独记账，$L_q=\lambda E[W_q]$；对整个系统，$L=\lambda E[T]$。若外部 1000/s 中只有 800/s 被接纳，内部指标应使用 800/s。退出含失败或取消时，停留时间也必须覆盖同一批退出者。成功吞吐不能直接配上所有请求的在途数量。

有重试时，一次业务请求对应多次尝试。以业务为单位可从首次发起算到最终结果；以尝试为单位要独立统计每次进入与离开。两种边界都可研究，但不可混算。

自检

1. 平均在途 50，吞吐 500/s，能推出 p99 为 100 ms 吗？

2. 故障期间队长上升，完成者平均时延还很低，二者为何“不符合” Little 定律？

延伸

MIT 2026 排队模型讲义给出 Little 定律及其在等待区、服务区中的用法。上面的截断算例直接由请求时间戳推导，与到达分布无关。