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title: 到达过程与模型假设
url: https://doc.liz6.com/theory/03-queueing-theory/03-arrival-processes
locale: zh
area: theory
tags:
- 排队论
- 基础理论
date: 2026-09-10
modified: 2026-09-10
description: 平均每秒 100 个请求可以是均匀到达，也可以是整秒同时涌入。排队需要知道平均流量之外的时间结构；Poisson 是可分析的基准模型，而不是“请求很多”自动得到的结论。
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# 到达过程与模型假设
平均每秒 100 个请求可以是均匀到达，也可以是整秒同时涌入。排队需要知道平均流量之外的时间结构；Poisson 是可分析的基准模型，而不是“请求很多”自动得到的结论。
## Poisson 到达究竟假设了什么
齐次 Poisson 过程具有独立增量和不随时间变化的强度 $\lambda$。长度为 $\Delta$ 的区间内，到达数满足：
$$P\{A(\Delta)=n\}=e^{-\lambda\Delta}\frac{(\lambda\Delta)^n}{n!},\qquad E[A(\Delta)]=\operatorname{Var}(A(\Delta))=\lambda\Delta.$$
相邻到达间隔 $I$ 独立同分布于指数分布，$P(I>t)=e^{-\lambda t}$、$E[I]=1/\lambda$。例如 $\lambda=2$/s，1 s 内零到达概率约 13.5%；平均间隔 0.5 s，并非每 0.5 s 必然到达一次。
指数分布的无记忆性是：
$$P(I>s+t\mid I>s)=e^{-\lambda t}.$$
已经等了一段时间，不会使下一次到达在模型中“更接近”。确定性间隔则相反：知道已经过去多久，会改变剩余时间。
**到达过程与模型假设 · 实验**
齐次Poisson到达的解析分布，无队列仿真。上图只显示有限个计数值，省略极小右尾；下图为相邻到达间隔的生存概率。
固定 $\lambda$ 增大计数窗口：计数均值和方差同时增加，相邻到达间隔的曲线却不变。注意计数是离散量，间隔是连续量；两种图不能交换坐标解释。
## 用变异系数补充均值
$$C_a^2=\frac{\operatorname{Var}(I)}{E[I]^2},\qquad C_s^2=\frac{\operatorname{Var}(S)}{E[S]^2}.$$
固定间隔的 $C_a^2=0$，指数间隔为 1；大于 1 表示相对于均值有更强离散性。但这些只描述边际分布，无法完整表达自相关、周期同步或连续突发。两个序列即使均值和方差相同，也能因长间隔与短间隔的排列不同产生不同等待。
日志分析应同时看：分时间段到达率、多个尺度的计数方差、间隔分布和相关性。定时批任务、流量日周期、缓存失效和同步重试都可能破坏齐次或独立假设。多个独立稀疏来源的叠加有时接近 Poisson，但共享触发器会破坏这种理由。
## Kendall 记法是一张假设标签
$A/S/c/K$ 依次表示到达间隔类型、服务时间类型、服务台数和系统总容量。$M$ 表示无记忆的指数间隔/服务，$D$ 为确定性，$G$ 为一般分布；$GI$ 强调独立同分布的一般间隔。省略 $K$ 时，本系列取无限容量，并另行写出 FCFS、无放弃等条件。
| 模型 | 本系列的含义 |
| --- | --- |
| M/M/1 | Poisson 到达、独立指数服务、单台 |
| M/G/1 | Poisson 到达、独立一般服务、单台 |
| GI/GI/1 | 独立一般间隔、独立一般服务、单台；两序列相互独立 |
| M/M/c | 同质并行服务台、一个公共等待区 |
| M/M/1/K | 总共容纳 K 个请求，含服务中的请求 |
PASTA 指外生 Poisson 到达在到达前看到的状态分布等于时间平稳分布，要求到达不预知未来系统演化等适当条件。它使“服务台忙碌时间占比”可以转为“到达需要等待的概率”。一般到达过程没有这个保证，也不保证请求之间的等待独立。
## 自检
1. 每秒整点一次性到达 100 个请求，是否属于速率 100/s 的 Poisson 过程？
参考思路
不是。它有同步批次和确定的周期，短窗口计数与所在相位相关。长期均值相同不足以确定到达过程；应使用批量或周期到达模型，或直接重放时间戳。
参考思路
不能。两个矩不足以确定分布，也不包含序列相关性。还需检查经验分布、分段速率与相关结构；有限样本拟合只能提供证据，不能证明真实过程严格满足模型。