电感与变压器

开关接通时电感电流上升，断开后却仍需要路径继续流动。变压器增加次级匝数可以升压，但不能同时凭空增加可用功率。理解这些现象，要把端口电压、电流变化、磁通和能量放在同一套符号约定里，而不是只记“阻交通直”。

电感的方向与储能

磁链 λ 是绕组各匝所链磁通之和；在每匝磁通相同的近似下 λ = NΦ。线性、固定参数模型中 λ = Li。采用电流进入电压正端的被动约定，端口电压为 v = dλ/dt = L·di/dt。常见的感应电动势 ε = −dλ/dt 使用的是另一种方向定义，负号表达楞次定律的反抗变化；不能把两套定义混到同一 KVL 式中。

10 μH 电感两端施加 +1 V 时，电流斜率为 +0.1 A/μs；施加 −1 V 时斜率为 −0.1 A/μs。电感并非总在“阻碍电流”，而是电压决定其电流变化速度。电流已有正值时施加负电压，电流可以暂时仍为正，电感通过负的吸收功率向外释放能量。

线性模型储能 E = ½Li²，来自对 i·dλ 的积分。10 μH、2 A 时储能 20 μJ。非线性磁芯下要按实际磁链—电流关系积分，不能假设同一个 L 覆盖接近饱和的全过程。

有限电感在没有冲激电压时电流连续。关断开关不会自动把电流变成零：它可能经过续流二极管、同步开关、钳位或寄生电容重新分配。若试图让 10 μH 中的 2 A 在 10 ns 内减到零，简单斜率估计要求约 −2000 V；真实峰值受寄生和保护路径约束。这解释了为什么要设计关断能量去向，而不是以此宣称实际必定出现 2000 V。

一阶 RL 电路的时间常数 τ = L/R_seen，R_seen 要包含实际回路电阻。直流稳态且电流有限不变时，理想电感压降为零；实际绕组仍有 DCR 压降。若把理想电感直接接在恒定非零理想电压源上，电流会一直线性上升，这个无电阻模型根本没有有限稳态。

Buck 一周期推演：用伏秒求纹波

取理想连续导通模式（CCM）的 Buck：Vin = 12 V、Vout = 5 V，开关频率 500 kHz，L = 10 μH，输出平均电流 2 A。周期 T = 2 μs，并假设输出电压在一周期内变化很小。把电感电压定义为开关节点减输出电压。

周期稳态要求下一周期起点电流相同，因此电感一周期平均电压为零：D(Vin−Vout)+(1−D)(−Vout)=0，得到 D = Vout/Vin = 5/12。导通时间约 0.833 μs，纹波峰峰值 ΔI = 7×0.833/10 ≈ 0.583 A；后半段下降量相同。

平均电流 2 A 时，峰值约 2.292 A、谷值约 1.708 A，谷值大于零，符合这里的 CCM 假设。对这个三角纹波，I_rms² = I_avg² + ΔI²/12。若 DCR = 40 mΩ，绕组直流电阻相关耗散约 0.161 W；这还没包括交流绕组损耗和磁芯损耗。

若负载降得足够低，电流可能进入断续模式；此时续流时间不一定占满整个关断区间，不能继续不加条件地用同一占空比—输出关系。实际二极管压降、开关导通电阻、死区和控制方式也会修正波形。

上升和下降的伏秒能否抵消？

先让占空比偏离 5/12，末端电流会偏离起点。这个差额会成为下一周期的初值；真正的转换器还会改变输出和控制状态，不能无限重复当前固定输出假设。下图把积分关系直接转成折线的上升量与下降量。

$$\Delta i=\frac{1}{L}{\int }_0^T{v}_L(t)dt=\frac{T}{L}(D{V}_{in}-V_{out})$$

实际电感参数：电流上限不止一个

Isat 常用“L 下降某百分比”定义，不是统一的突然失效电流；不同厂家或系列的下降标准可能不同。饱和使有效电感降低，同样电压下 di/dt 增大，但电流是否失控还取决于保护和电路。Irms 也不替代 Isat：峰值没触碰磁性限制的器件仍可能过热。Coilcraft：DC-DC 电感选择

理想正弦稳态阻抗 Z_L = jωL，感抗大小为 2πfL，电压领先电流 90°。实际电感的寄生电容会产生自谐振，超过相应区域后可能表现为容性，阻抗不再无限上升。若把器件作为集总电感使用，需要确认目标频带内的感性和 Q；若用于宽频抑制，则应看整条复阻抗曲线，不能简单把 SRF 当作所有用途的绝对禁区。

变压器与点标记

两绕组通过共同磁通耦合。理想变压器忽略损耗、漏磁和有限励磁电流，按统一点端极性有 v₂/v₁ = N₂/N₁ = n。点标记表示相对绕向：若两侧电压都取点端为正，电压同相；把一侧端子交换，所定义输出极性也反转。

图中初级电流 i₁ 流入点端，次级负载电流 i₂ 流出点端，理想功率平衡为 v₁i₁ = v₂i₂，因此 i₂/i₁ = N₁/N₂。若把两个电流都定义为流入点端，安匝关系则写 N₁i₁ + N₂i₂ = 0；没有交代方向就写电流比，很容易漏掉符号。

例如 N₁ = 20、N₂ = 10，初级正弦电压有效值 10 V，次级为 5 V。次级接 10 Ω 电阻时，输出电流 0.5 A、功率 2.5 W，理想初级电流为 0.25 A。初级看到的阻抗为 Z_in = Z_L/n² = 40 Ω；它改变了端口呈现的阻抗，没有制造额外功率。

真实变压器需要有限励磁电感才能建立磁通，因此空载也有励磁电流和损耗。漏感对应未完全耦合的磁场部分，换流时可能产生尖峰；绕组电阻带来铜损，磁芯有磁滞与涡流等损耗，绕组间电容还允许高频共模电流通过。两个绕组没有直流导通路径，不代表任何频率下都完全无耦合电流，更不自动证明满足某个安全隔离等级。

伏秒与磁通偏移

在有效截面积 Ae、绕组 N 和磁通近似均匀的模型下，绕组感应电压积分给出 ΔB = ∫vdt/(NAe)。对恒定电压脉冲就是 ΔB = VΔt/(NAe)，这里计算的是磁通密度的变化量，不是忽略初始磁通后的绝对 B。

假设 N = 20、Ae = 25 mm²，加 12 V 持续 2 μs，ΔB = 0.048 T。如果后续没有足够的反向伏秒让磁通回到合适位置，下一周期会在已有偏移上继续增长。是否接近饱和还要看初始 B、材料、温度和完整复位波形；一次算出很小的 ΔB 不能证明长期周期运行安全。

气隙增大磁路磁阻，在同样绕组电流下有助于限制磁通，并让储能型器件的大部分磁场能量位于气隙等低磁导区域。但对于已经规定的绕组电压和作用时间，ΔB 仍由伏秒和 NAe 决定；⁠加气隙不能代替电压激励下的磁通复位⁠。

把恒定直流持续加在实际变压器绕组上，磁通和励磁电流可能不断上升直至受非线性、绕组电阻和供电限制，不会像匝比公式那样持续输出稳定的变换直流。工频正弦、双极脉冲和带复位的开关波形都可以激励变压器，关键是完整波形与磁性设计相容。

正激与反激：能量何时送到负载

反激器件虽常称“反激变压器”，在分析储能与分时传能时应把它看作耦合电感。TI：反激工作过程

定义 n = N₂/N₁，忽略损耗与压降并取相应连续导通稳态，反激有 Vout/Vin = nD/(1−D)。这个式子来自磁化电感的伏秒平衡，不能用在任意断续状态下而不计负载与第三阶段。周期转移磁化能量为 ½L_m(I_peak²−I_valley²)；只有谷值回到零的相应情况，才简化为 ½L_mI_peak²。

正激的输出电感相当于由幅度 nVin 的脉冲驱动，在理想 CCM 下 Vout/Vin = nD，不能漏掉匝比 n。允许占空比还受磁通复位方式约束，不应给所有正激拓扑统一设定一个不加条件的上限。TI：正激设计与匝比

from fractions import Fraction as F
from math import isclose
vin, vout, inductance, frequency = F(12), F(5), F(1,100000), F(500000)
duty = vout/vin
period = 1/frequency
ripple = (vin-vout)*duty*period/inductance
assert ripple == F(7,12)
assert ripple == vout*(1-duty)*period/inductance
average = F(2)
peak, valley = average+ripple/2, average-ripple/2
assert peak == F(55,24) and valley == F(41,24)
copper_loss = (average**2+ripple**2/12)*F(4,100)
assert isclose(12*2e-6/(20*25e-6), .048)
n = F(1,2)
assert F(10)/n**2 == 40
print(f"纹波 {float(ripple):.6f} A，峰值 {float(peak):.6f} A，DCR 损耗 {float(copper_loss):.6f} W")

本例计算只验证理想模型中的伏秒、纹波、功率和匝比关系，没有运行真实电源。实际选型要将最坏输入、占空比、启动与限流阈值带入，并同时检查感值下降、温升、磁芯损耗和关断波形。下一章 能带理论与掺杂 进入半导体器件的材料基础。