运算放大器（Op-Amp）

反相端和同相端“电压相等”不是运放自带的硬连线，而是高增益、稳定负反馈和线性工作共同产生的近似。一旦输入范围、输出余量或动态能力不够，继续使用虚短就会算出不可能的答案。本篇先给出使用条件，再从节点电流推导常见电路。

两条近似的条件

电压反馈运放可用高增益差分关系 v_out≈A_OL(v_+−v_−) 描述某些线性条件下的行为。理想模型令输入电流为零、开环增益无限大，但真实器件有偏置电流、失调、有限带宽与输出限制。

“虚断”表示理想输入端不吸入电流，并不表示反相节点没有电流：输入电阻、反馈电阻和寄生电容中仍有电流。“虚短”表示在稳定负反馈且运放未超出工作范围时，两输入电压差很小，⁠不是两个端子真的短接⁠。

若输出卡在电源附近，或输入共模超范围，反馈即使连在反相端也不保证虚短。若环路不稳定，静态代数解存在也不保证电路能安定在该点。比较器的正反馈与开环比较用途更不能按虚短求解；普通运放也未必适合充当比较器。

反相、同相与跟随器

反相：用节点电流而非死记负号

输入通过 R_in 接反相端，R_f 从输出返回该节点，同相端接 V_ref。近似 v_−=V_ref 且输入电流为零时，节点式为：

(V_in−V_ref)/R_in + (V_out−V_ref)/R_f = 0，

所以 V_out = V_ref−(R_f/R_in)(V_in−V_ref)。只有 V_ref=0 时才简化为 −(R_f/R_in)V_in。

图中 V_ref=2.5 V、R_in=10 kΩ、R_f=100 kΩ。V_in=2.6 V 时，输出为 1.5 V；输入高于参考 0.1 V，输出低于参考 1 V。输入支路电流 10 μA 经反馈网络平衡，不是通过理想运放输入端流入芯片。

假设实际带载输出范围为 0.2–4.8 V，则由这个式子推得输入可用范围约为 2.27–2.73 V，还需核对器件输入共模和其他条件。单电源电路不能把同相端接地后，仍要求正输入产生负输出而不提供负电源。

从信号源看进去，这个反相级的输入阻抗在近似有效频段主要是 R_in，不是运放芯片极高的输入阻抗。源串联阻抗也会参与实际增益，前级负载不能忽略。

同相：输出分压追随输入

同相端接输入，反相端由输出经 R_f、再经 R_g 到 V_ref 分压。对反相节点列式并使用虚短，得到 V_out = (1+R_f/R_g)V_in−(R_f/R_g)V_ref。

当 V_ref=0，信号增益为 1+R_f/R_g；输入端主要承担偏置与动态电容电流，但实际输入范围仍受器件约束。R_g 不是与输入信号串联的电阻，电路连接不能画成输入同时接地。

跟随器将输出直接接反相端，同相端接输入，目标增益为 1。器件必须支持单位增益稳定，输入共模、输出摆幅与负载电流都应允许该电压。跟随器能缓冲高阻源，但不是任意电流的电源；直接驱动较大容性负载还可能影响稳定性。

虚短在限幅后还成立吗？

默认输入对应线性区，增大开环增益会使差分电压趋近零。然后把 Vin 拉到 3 V：即使继续增加增益，输出也被下限挡住，V−不再等于2.5 V。输入支路电流仍经反馈支路平衡，没有流入理想输入端。

差分和积分：公式还需要比例与直流路径

四电阻差分级

定义 R₁ 从 V₁ 接反相端，R₂ 从输出反馈到反相端；R₃ 从 V₂ 接同相端，R₄ 从同相端接 V_ref。若 R₂/R₁ = R₄/R₃ = G，理想式为 V_out=G(V₂−V₁)+V_ref。

需要的是两个比例匹配，不必强制所有对应电阻绝对相等。比例误差会把共模电压变成输出误差，源阻抗不匹配也会改变有效比例；运放本身很高的 CMRR 不能消除外部电阻网络的失配。差分信号很小、共模较大时，仪表放大器或匹配网络可能更适合，但仍需检查整个共模与输出工作范围。

积分器必须处理直流误差

将反相级反馈电阻换成 C，输入仍经 R，同相端接恒定 V_ref。以 V_ref 为信号参考，理想积分式含初值：

v_out(t)=v_out(t₀)−[1/(RC)]∫从t₀到t (v_in−V_ref)dt。

没有直流反馈通路时，微小直流输入、失调或偏置电流会持续给电容充电，最终把输出推到限幅。实际积分器可在反馈电容并联大电阻，提供有限直流增益，或设计复位与受控初值；此后只在适用频带近似积分，不能再声称从 DC 到无限频率都满足理想式。

例如 R=100 kΩ、C=100 nF，1 mV 恒定差分输入对应输出斜率 −0.1 V/s。这个很小的输入误差持续数秒就可能占用明显输出余量。电容漏电、介质吸收与偏置电流也需要纳入精密积分用途。

非理想量怎样进入输出

信号增益与噪声增益不同

把输入信号源置零，从运放自身等效输入电压误差到输出的增益称为噪声增益。简单反相电阻级的信号增益是 −R_f/R_in，但噪声增益为 NG=1+R_f/R_in。同相级的信号增益与噪声增益在这个简单结构中相同。Analog Devices：噪声增益

图中的反相增益 −10 对应 NG=11。若输入失调电压为 100 μV，仅这一项近似造成 1.1 mV 输出误差，而不是 1 mV。实际误差还会叠加反馈电阻比例、V_ref 和其他来源；对非相关随机噪声与确定性最坏误差，应采用各自合适的合成方法。

输入偏置电流流过源/反馈阻抗也会形成偏移。某些输入结构下，使两端所见直流电阻相近有助于减小匹配偏置电流的影响，但不能消除输入失调电流，也可能增加电阻热噪声。不能把“同相端加 R_in∥R_f”当成适用于所有输入级的必需步骤。

带宽近似按噪声增益计算

对近似单主极点的电压反馈运放，闭环小信号带宽常可估为 GBW/NG。若 GBW=1 MHz、反相信号增益 −10，结果约 90.9 kHz，而不是直接按信号增益大小算 100 kHz。频率相关反馈网络需要看噪声增益曲线与开环响应的交越及相位。Analog Devices：增益带宽关系

GBW 不是所有运放、所有频率下严格恒定的乘积。电流反馈结构、去补偿运放和多极点行为有不同限制；某些运放要求最小稳定噪声增益，不能直接配置成跟随器。

从公式到实际连接

输入范围、输出范围与供电范围分别查

供电电压、输入共模范围和带载输出摆幅是不同规格。“轨到轨输入”与“轨到轨输出”也分别描述不同端口，RRIO 不保证所有负载下输出精确到达两条电源轨。输入保护允许的绝对最大电压也不等于正常线性工作的共模范围。TI：轨到轨端口边界

V_ref 是有阻抗和噪声的真实节点。用两只电阻分得电源一半，并不会自动形成可以承接任意信号或负载电流的“虚拟地”；需要根据接入电流、带宽和误差决定是否缓冲。电路也未必总需要 V_CC/2，偏置位置应由输入和输出可用范围共同确定。

转换速率先分清峰值与峰峰值

正弦输出的最大斜率为 2πfV_peak。如果某假想器件 SR=0.5 V/μs，在 20 kHz 下由斜率得到的峰值上限约 3.98 V，对应峰峰值约 7.96 V；不能把 3.98 V 错标成 4 Vpp。

这只是斜率边界，5 V 单电源往往先受到输出余量限制，且满足斜率条件不代表已经达到某个 THD 指标。应把小信号响应、输出幅度、负载与失真指标一起看。

稳定性、未使用通道与上电状态

容性负载与输出阻抗可引入额外极点；隔离电阻或补偿网络有时能改善稳定性，但也会改变输出误差和频响。不能看到振铃就无条件并一个反馈电容，先确认环路和器件推荐条件。

未使用通道需要有确定且合法的输入状态。对支持单位增益稳定的器件，常见做法是接成跟随器并将同相端偏置在输入/输出允许范围内；不是把两输入都悬空，也不是在单电源下无条件把跟随器输入接到地。去补偿器件需满足其稳定增益要求。TI：未使用运放的连接

电源去耦、电流回路和反馈节点布局同样影响行为。元件值及放置按器件应用说明与系统频带确定，不能仅靠“每个电源脚放一只 0.1 μF”证明设计完成。上电顺序、输入先于供电出现、输出被外部驱动时也要检查允许条件。

如何按任务筛选

CMOS、JFET、双极输入与零漂技术各有取舍，型号后缀、代际和温度等级也可能改变参数。比较时使用同一条件的保证值与曲线，不把一张没有负载、供电和测试条件的“典型参数表”作为最终依据。

from math import pi, isclose
rin, rf, ref, vin = 10000, 100000, 2.5, 2.6
out = ref-rf/rin*(vin-ref)
assert isclose(out, 1.5)
assert isclose((vin-ref)/rin+(out-ref)/rf, 0, abs_tol=1e-15)
noise_gain = 1+rf/rin
assert noise_gain == 11
bandwidth = 1e6/noise_gain
error = 100e-6*noise_gain
peak = .5e6/(2*pi*20000)
assert isclose(error, .0011)
assert 3.97 < peak < 3.99
assert isclose(.001/(100000*100e-9), .1)
print(f"输出 {out:.2f} V，噪声增益 {noise_gain:.0f}，单极点带宽约 {bandwidth/1000:.2f} kHz")
print(f"失调贡献 {error*1000:.2f} mV；SR 边界 {peak:.3f} Vpeak / {2*peak:.3f} Vpp")

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从反馈电路进入动态分析

静态闭环增益不能单独回答是否振荡。先用控制理论的动态建模区分输入、状态与输出，再读频率响应与稳定裕度理解环路增益、相位与延迟。回到运放时，应重新代入器件、负载和工作点，不能把温控例子的参数直接当成电子电路参数。