动态建模

固定功率下的最终温度可以用代数算出，但“多久达到”“中途怎样变化”需要动态模型。本篇从热量收支建立一个状态，再把同一关系写成连续与离散形式。前置是反馈与控制。

从守恒关系写出导数

温度变化需要能量。热容 $C_{\mathrm{th}}$ 表示升高 1 K 所需的能量；若一小段时间 $\Delta t$ 内净入热功率为 $p_{\mathrm{net}}$，则 $C_{\mathrm{th}}\Delta \theta \approx p_{\mathrm{net}}\Delta t$。两边除以时间，再取极限：

$$C_{\mathrm{th}}\dot{\theta }=P_{\max }u-k(\theta -{\theta }_a)+d.$$

这里 $\dot{\theta }$ 是温度变化率，单位 K/s；$C_{\mathrm{th}}$ 是 J/K；$P_{\max }$、额外入热 $d$ 的单位为 W；$k$ 为 W/K；$u$ 无量纲。左边单位是 J/s，与右边相同。正 $d$ 表示额外加热，负 $d$ 表示额外移走热量。

本系列基线为 $C_{\mathrm{th}}=2000$ J/K、$P_{\max }=1000$ W、$k=20$ W/K。取 $\theta =30$、${\theta }_a=20$、$u=0.4$、$d=0$，净入热是 $400-200=200$ W，故 $\dot{\theta }=0.1$ K/s。这个导数描述当前趋势，不表示未来每秒都增加 0.1 K；温度升高后散热也会增加。

状态为什么能概括过去？

在这个集中参数模型里，给定当前温度与后续输入，就能计算后续温度，所以 $\theta$ 是状态。状态不是“所有历史记录”，而是模型中预测未来所需的当前信息。

假如容器壁和内部液体温度不同，仅知道液体温度就不够：相同液温、不同壁温会产生不同的后续换热。此时需要至少两个温度状态。模型的维数来自被保留的动态，不来自传感器数量。状态反馈篇会进一步区分状态与可测输出。

时间常数是怎样出现的？

当 $u,{\theta }_a,d$ 恒定时，令导数为零得到

$${\theta }_{\infty }={\theta }_a+\frac{P_{\max }u+d}{k},\tau =\frac{C_{\mathrm{th}}}{k}.$$

把方程改写成 $\dot{\theta }=-(\theta -{\theta }_{\infty })/\tau$。偏离最终值越多，回归速度越大；解为

$$\theta (t)={\theta }_{\infty }+[\theta (0)-{\theta }_{\infty }]e^{-t/\tau }.$$

基线 $\tau =100$ s。从 20 °C、$u=0.4$ 开始，最终是 40 °C。100 s 后为 $40-20/e\approx 32.64$ °C，完成变化量的 63.2%；300 s 后约 39.00 °C，完成 95.0%。时间常数不是“恰好到达终点所需时间”。

先把热容加倍，再把散热系数加倍。前者只改变时间常数，后者同时改变时间常数与最终温升。读图时区分“绝对温度较低”和“相对于自身终值收敛较快”。

连续方程怎样变成递推？

最直接的前向 Euler 近似是

$${\theta }_{j+1}={\theta }_j+\frac{h}{C_{\mathrm{th}}}[P_{\max }{u}_j-k({\theta }_j-{\theta }_{a,j})+d_j].$$

$h$ 是数值计算步长。若这一段时间内输入保持不变，可以直接使用精确解：

$${\theta }_{j+1}=a{\theta }_j+(1-a){\theta }_{\infty ,j},a=e^{-h/\tau }.$$

例如 $h=10$ s，从 20 °C 开始，Euler 得到 22 °C，精确递推得到 21.903 °C。两者的差别来自近似方法。对于无输入偏差方程，Euler 的离散系数是 $1-h/\tau$，只有 $0<h<2\tau$ 才渐近稳定；不能把过大步长造成的发散解释成真实对象失稳。数字控制篇再区分仿真步长与真实控制周期。

线性化保留了什么？

选定平衡点 $({\theta }_0,u_0)$，用 $x=\theta -{\theta }_0$、$v=u-u_0$ 表示偏差。在环境与热负载不变时，得到

$$\dot{x}=-\frac{k}{C_{\mathrm{th}}}x+\frac{P_{\max }}{C_{\mathrm{th}}}v.$$

本模型本来就是仿射关系，偏差变换后是精确线性方程。若换成辐射散热、温度相关热容或非线性执行器，通常只能在工作点附近用导数近似。对一般 $\dot{x}=f(x,u)$，局部矩阵来自 $A=\partial f/\partial x$、$B=\partial f/\partial u$，并不是对所有温度都成立的同一组常数。

RC 电路的 $C\dot{V}=(V_{\mathrm{in}}-V)/R$ 也有储能和泄放，时间常数为 $RC$。这种对应帮助迁移数学结构；电压、温度、能量和执行器约束仍有各自单位与物理意义。可回看电容。

自检

只把热容从 2000 增加到 4000 J/K，固定输入下最终温度与 100 s 时温度分别怎样变化？

两杯液体当前都为 40 °C，但一个容器壁更热。为什么一个温度状态的模型可能预测错误？

延伸

python-control 的连续到离散转换提供包括零阶保持在内的转换方法。选择方法前，先明确“输入在采样间隔内保持不变”是否符合实际实现。