进阶：状态反馈与观测器

前面的温控模型只有一个温度状态；机械系统却需要位置和速度，而传感器可能只测位置。本篇解释怎样用状态反馈改变动态，以及怎样从测量估计未直接测到的状态。需要动态建模、极点和基本矩阵运算。

把二阶方程写成两个一阶方程

单位质量、无阻尼的运动对象满足 $\ddot{q}=u$。令 $x=[q,v{]}^{\mathsf{T}}$，$v=\dot{q}$，则

$$\dot{x}=Ax+Bu,y=Cx,A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right].$$

第一行是位置变化率等于速度，第二行是速度变化率等于加速度输入。虽然输出只有位置，内部仍有两个状态。这里的 $C$ 是输出矩阵，不是前文控制器传递函数；符号含义随明确的模型上下文区分。

可控性：动作能影响哪些状态？

连续 LTI 系统的可控矩阵是 $\mathcal{C}=[B,AB,\dots ,A^{n-1}B]$。本例

$$\mathcal{C}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$$

秩为2，因此两个状态都可通过输入影响。这个判据讨论无约束线性模型的有限时间状态转移，不保证有幅度限制时可以任意快地完成转移。

若改成 $A=\mathrm{diag}(-1,1)$、$B=[1,0{]}^{\mathsf{T}}$，输入无法影响第二个不稳定状态。再强的第一路控制也不能稳定它。设计稳定反馈实际只需“可稳定”：不可控模态必须本来稳定；它弱于完全可控。

状态反馈怎样放置极点？

取 $u=-Kx=-k_{1}q-k_{2}v$，闭环矩阵为 $A-BK$，特征多项式为

$$s^2+k_{2}s+k_1.$$

希望极点为−1、−2，则目标多项式 $(s+1)(s+2)=s^2+3s+2$，所以 $K=[2,3]$。位置项把物体拉回原点，速度项提供阻尼。这里是调节到原点；跟踪非零目标还需定义参考平衡及前馈，或引入积分，不能只把任意目标向量代入就假定可行。

可观测性：位置历史里有没有速度信息？

可观测矩阵为 $\mathcal{O}=[C;CA;\dots ;C{A}^{n-1}]$。位置测量下

$$\mathcal{O}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],$$

秩为2。虽然一个时刻的位置不能确定速度，位置随时间的变化结合已知输入可以提供速度信息。若只测速度，$C=[0,1]$，矩阵秩为1，初始位置偏移无法辨别。

测量有噪声时，直接差分位置会放大噪声。观测器利用模型推进估计，再用预测与测量的差进行修正：

$$\dot{\hat{x}}=A\hat{x}+Bu+L(y-C\hat{x}).$$

令估计误差 $\tilde{x}=x-\hat{x}$，在模型准确且无噪声时，$\dot{\tilde{x}}=(A-LC)\tilde{x}$。选择 $L=[9,20{]}^{\mathsf{T}}$，误差极点就是−4、−5。

对象初始位置1、速度0，观测器初始状态为零，控制器使用估计状态 $u=-K\hat{x}$。改变观测器极点速度，比较真实状态、估计误差和控制动作；噪声选项使用固定正弦测量扰动，便于重复对照，不声称它是随机白噪声。

分离原理的保证与边界

代入 $u=-K\hat{x}$ 后，在状态 $[x,\tilde{x}]$ 下有

$$\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}x\\ \tilde{x}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A-BK& BK\\ 0& A-LC\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ \tilde{x}\end{array}\right].$$

这是块三角矩阵，特征值是控制器极点与观测器误差极点的并集。在准确、无约束的LTI模型中，可以分别设计两者。这个结论不保证饱和、模型误差、延迟或噪声下仍有同样性能。

观测器极点越快，通常意味着更大的测量修正增益，更容易把噪声传入估计与动作。Kalman滤波通过明确的过程/测量噪声协方差选择增益；其最优性依赖模型和统计假设，并非“任何噪声下最好的平滑器”。不可观测但稳定的模态允许渐近估计，相关条件称为可检测性。

自检

只测速度能知道一个静止物体的绝对位置吗？

令 $L=[2\alpha ,{\alpha }^2{]}^{\mathsf{T}}$，观测器误差极点在哪里？是否应令 $\alpha$ 无限大？

延伸

Caltech 控制课程提供状态反馈与状态估计的讲义和 notebook。python-control place可用于极点配置；工具的秩、重根及数值限制需要结合模型检查。