基本的な物理量と法則

10 V の電源にいくつかの抵抗を接続したとき、なぜあるノードの電圧が約 4.84 V になるのでしょうか？電流が抵抗を通り過ぎると「消費」されるのでしょうか？オシロスコープ上で同じく 5 V と表示されている2つの波形で、なぜ発熱が異なるのでしょうか？これらの疑問には、電荷、エネルギー、極性、接続関係を明確に区別する必要があります。ここではまず量と記号の体系を整え、完全な回路を用いてオームの法則、KCL（キルヒホッフの電流則）、KVL（キルヒホッフの電圧則）、および電力計算を結びつけます。

電荷から回路量へ

電荷、電場、電位差

電荷は q または Q で表され、単位はクーロン (C) です。素電荷の大きさ e = 1.602176634 × 10⁻¹⁹ C は SI における厳密に定義された値です。電子が帯びているのは +e ではなく −e です。1 C の電荷量は、約 6.24 × 10¹⁸ 個の素電荷に相当します。BIPM：SI 定義定数

電場は空間中で電気力を記述するベクトルであり、正の検針電荷が受ける力を電荷量で割ったものとして定義されます：E = F/q。単位は N/C で、V/m とも等価です。真空中の静止した2点電荷間のクーロン力の大きさは k|q₁q₂|/r² です。定数 k は約 8.99 × 10⁹ N·m²/C² です。距離が2倍になると力の大きさは4分の1になります。方向は位置と電荷の正負に依存するため、このスカラー式だけを見て判断することはできません。

静電条件下では、電位を用いて電場を記述できます：u_AB = φ_A − φ_B = ∫(AからB) E·dl。したがって電圧は常に2点間の量です。正電荷 q が A から B へ移動するとき、電場がなす仕事は q·u_AB であり、その電気エネルギーは同じ量だけ減少します。1 V = 1 J/C ですが、移動方向を無視して「1 C を移動させるごとに 1 J が『消費』される」と理解するのは誤りです。

回路中の 0 V は選択された基準ノードであり、必ずしも大地（グランド）である必要はなく、電荷が存在しないことを意味するのでもありません。すべてのノードの電位に同時に 100 V を加えても、2点間の電圧は変化せず、理想回路における電流も変化しません。筐体、人体、または他の回路に関連する場合は、それらが基準ノードに対して持つ実際の電位差を明確にする必要があります。

電流は通過の速さを、電圧はエネルギー差を記述する

瞬時電流は i = dq/dt です。一定の時間間隔では、平均電流は Δq/Δt となります。1 A = 1 C/s です。一定の 2 mA が 3 秒間持続する場合、断面を通過する電荷量は 6 mC です。金属中の伝導電子の平均的なドリフト方向は、慣習的な電流方向と逆向きです。他の媒質では正イオンなどのキャリアによって伝導されることもあり、「電流」を電子流として定義すべきではありません。

抵抗での発熱は電気を消費するものであり、それを通過する電流を徐々に減少させるものではありません。定常状態の直列回路では、各断面の電流は同じです。もしある場所で流入する電荷が流出する電荷より多く、かつそれが持続すると、その場所に電荷が蓄積して電場が変化し、元の定常状態を維持できなくなります。

「水圧—水流」の比喩は電圧と電流を区別するのに役立ちますが、回路信号の伝播は、電源から負荷まで同じ電子が移動するのを待つことではありません。伝播は電磁界および導体周囲の媒質に関係しており、電子のドリフト速度からスイッチの応答時間を推論することはできません。

抵抗とオームの法則の適用条件

理想的な線形抵抗は u = Ri を満たし、R は正であり、使用されるモデル内では電流に依存しません。コンダクタンス G = 1/R で、単位はジーメンス (S) です。均一で断面が一定の導体は、R = ρL/A で近似できます。導線を長くすると抵抗が増加し、断面面積を大きくすると抵抗は低下します。抵抗率 ρ の単位は Ω·m で、材料や温度などの条件によって変化します。

一般的な素子については、ある動作点で u/i を計算できますが、これが伏安特性曲線全体が線形であることを証明するものではありません。微小な擾乱に対する微分抵抗 du/di は、u/i と異なる可能性があります。ダイオードは通常、固定された R で記述できませんが、半導体材料で作られた抵抗は一定の範囲内でオーム的に近似できる場合があります。「すべての半導体には適用できない」というのは正しい境界ではありません。

基準極性と電力

まず電圧の正負端と電流の矢印を選び、式を立てます。⁠受動符号規約を採用する場合、電流の基準方向は電圧の正端へ入る方向とし、瞬時吸収電力は p = ui とします。p > 0 はエネルギーを吸収していることを、p < 0 は外部へエネルギーを供給していることを示します。電源が放電している場合にも同じ規則で計算でき、その結果は負になります。

仮定の矢印方向に沿って計算した結果が −0.2 A である場合、実際の電流は逆向きに 0.2 A 流れていることを意味します。元の記号を保持したまま計算に続けてください。矢印を変えながら同時に負号を残さないでください。1 W = 1 J/s、1 kWh = 3.6 × 10⁶ J です。エネルギーと電力は異なる量であり、バッテリーの Wh と機器の W は直接加算できません。

接続関係から方程式を導く

直並列はノードで見る

理想導線によって直接接続された点は同じノードに属します。2つの素子が首尾よく接続され、中間ノードに他の分流路がない場合にのみ直列とみなせ、電流は同じで、等価抵抗は R₁ + R₂ となります。2つの素子の両端がそれぞれ同じ一対のノードに接続されている場合にのみ並列とみなせ、電圧は同じで、等価コンダクタンスは 1/R₁ + 1/R₂ となります。

したがって、2つの正の抵抗が並列接続されている場合、R_eq = R₁R₂/(R₁ + R₂) となり、どちらか一方の抵抗値よりも小さくなります。ブリッジ回路は外見から逐次的に直並列化できない場合があります。そのような場合はノードとループの方程式に戻ればよく、共通のノードを持つ素子を無理やり並列として計算してはいけません。

KCL：ノードにおける電荷保存

正味の電荷を蓄積しない理想ノードモデルでは、流入電流の和は流出電流の和に等しくなります。より一般的には、有限領域において「流入 − 流出 = 領域内の電荷変化率」が成り立ちます。通常の集定数回路では、蓄積効果はコンデンサなどの素子およびその分岐路電流に組み込まれており、回路内で常に電荷が蓄積できないという意味ではありません。

KVL：ループに沿った電位変化の一貫した計算

適用可能な集定数回路モデルでは、閉ループに沿って各分岐路の電圧を統一された方向で足し合わせると、代数和はゼロになります。抵抗を通過し、その電流方向に沿うと電圧降下は −IR です。理想電圧源の負端から正端へ移動すると +V です。一周回ると元の電位に戻らなければなりません。OpenStax：キルヒホッフの法則

これはすべての電場が保存力場であることを意味するのではありません。時間変化する磁束は誘起起電力を発生させ、場の理論的な形式では ∮E·dl = −dΦ_B/dt となります。インダクタ、トランス、または磁気結合を解析する際には、対応する誘起効果をモデルに組み込む必要があります。導線の伝播遅延や空間分布が無視できない場合は、伝送線路などのモデルが必要であり、「導線の抵抗は非常に小さい」という理由だけで全体を等電位点として扱うことはできません。

数値による完全な導出：2 Ω の直列と 3 Ω および 5 Ω の並列

以下では理想的な直流モデルのみを使用します。R₁ 後のノード A で R₂、R₃ の2つの分岐に分かれ、下部の導線を 0 V とします。電源上端は +10 V です。この接続により、I₁ = I₂ + I₃ となり、3つの抵抗に同じ電流が流れるわけではありません。

まず並列部を簡略化します：R₂₃ = 3×5/(3+5) = 15/8 Ω です。全抵抗は 2 + 15/8 = 31/8 Ω となるため、I₁ = 10/(31/8) = 80/31 A ≈ 2.581 A です。

ノード A の電圧は U_A = I₁R₂₃ = 150/31 V ≈ 4.839 V です。2つの分岐路の電流はそれぞれ I₂ = U_A/3 = 50/31 A、I₃ = U_A/5 = 30/31 A となり、抵抗の小さい分岐路により多くの電流が流れます。

また、A 点から直接ノード方程式を立てることもできます：(10 − U_A)/2 = U_A/3 + U_A/5。左辺は電源から R₁ を通じて流入する電流、右辺は2つの流出分岐路です。2つの解法は同じ U_A を得るはずです。

電力計算では、代数計算だけでは見落としがちな符号の誤りも発見できます。3つの抵抗が吸収する電力はそれぞれ 12800/961、7500/961、4500/961 W で、合計は 800/31 W です。電源が供給する電力は 10×80/31 = 800/31 W です。受動符号規約に従って電源の吸収電力を負として計算すると、各素子の電力の代数和はちょうどゼロになります。これは算数の教学用回路であり、実際の抵抗の定格を指定した組立方式ではありません。

from fractions import Fraction as F
r1, r2, r3, vs = F(2), F(3), F(5), F(10)
r_parallel = 1 / (1/r2 + 1/r3)
i1 = vs / (r1 + r_parallel)
va = vs - i1*r1
i2, i3 = va/r2, va/r3
assert (i1, i2, i3, va) == (F(80,31), F(50,31), F(30,31), F(150,31))
assert i1 - i2 - i3 == 0
assert vs - i1*r1 - i2*r2 == 0
assert vs - i1*r1 - i3*r3 == 0
assert i1*i1*r1 + i2*i2*r2 + i3*i3*r3 == vs*i1
print("ノード、2つのループ、および電力収支が正確な分数で検証された")

電流はどこで分岐する？

R3 を増やすとその枝電流は減るが、A の電位が上がり R2 の電流も変わる。各枝が独立した固定電圧を見るわけではない。KCL と電力の両方を確認する。

波形と実効値

定常直流は理想モデルでは時間変化しません。実際の電源にはリップルが重畳している可能性があります。一般的な周期信号には平均値、振幅、周期、形状が同時に存在し、「5 V の信号」とだけ言っても、電力やインターフェースの互換性を特定するには不十分です。

実効値は「振幅 × 0.707」という一般的な換算ではありません。V_rms = √[(1/T)∫u²(t)dt] と定義されます。固定された理想抵抗では、平均電力は V_rms²/R となるため、実効値は平均電圧ではなく発熱を等価化するものです。ゼロ偏位の正弦波 A sin(ωt+φ) のみに V_rms = A/√2 が成り立ちます。OpenStax：交流回路

0 から A までの理想矩形パルスにおいて、High レベルが周期 D を占める場合、平均値は AD、実効値は A√D です。A = 5 V、D = 25% の場合、平均値は 1.25 V ですが、実効値は 2.5 V です。100 Ω の抵抗に対する平均電力は 2.5²/100 = 62.5 mW となり、1.25²/100 で得られる 15.625 mW で代用することはできません。

直流バイアス付きの正弦波 u = U₀ + A sin(ωt) については、V_rms² = U₀² + A²/2 となります。一般的な交流負荷では、平均電力は平均の u(t)i(t) を計算する必要があります。電圧と電流の実効値の積が必ずしも有効電力に等しいとは限りません。位相や波形の相関性も結果に影響を与えるためです。

実効値はなぜ先に二乗する？

二つの図は同じ時間軸。パルスを短くすると高さではなく面積が減る。電力は下図の面積に従い、D=25% の実効値はピークの半分。二つの電力計算が一致するのは D=0 または 1。

$$U_{rms}=A\sqrt{D},\overline{P}=\frac{A^{2}D}{R}$$

接頭辞早見表と次のステップ

大文字と小文字には意味があります。MΩ と mΩ は 10⁹ 倍も異なります。式に代入する際は単位を統一し、計算後に換算してください。もし桁外れに異常な結果が得られた場合は、法則を疑う前に、まず接頭辞、極性、接続関係を再確認してください。

次に 直流回路解析 をお読みください。ノード法、重ね合わせ、ポート等価へと、同じ保存則の体系を拡張します。素子の実際の偏差、温度ドリフト、および電力制限については 抵抗 を参照してください。