帯構造理論とドーピング

帯構造理論が必要な理由

古典物理学では半導体の導電挙動を説明できません。帯構造理論は量子力学を用いて固体中の電子の許容エネルギー状態を記述し、すべての半導体デバイスを理解するための基礎となります。

帯構造

3つの基本的なエネルギー帯

導体 / 半導体 / 絶縁体

フェルミ準位 (Fermi Level)

フェルミ準位 Ef: 電子が占有する確率が 50% となるエネルギー位置

真性半導体: Ef は禁制帯の中央にある
N型半導体: Ef は伝導帯に近い  (電子が多い)
P型半導体: Ef は価電子帯に近い  (正孔が多い)

フェルミ・ディラック分布:
f(E) = 1 / (1 + e^((E-Ef)/kT))

T=0K: 階段関数
T>0K: 遷移領域の幅 ≈ kT (室温では約 26meV)

半導体材料

シリコン (Si) — 圧倒的な主流

原子番号: 14
結晶構造: ダイヤモンド構造 (各原子が4つの近隣原子と共有結合)
Eg = 1.12 eV
真性キャリア濃度 ni ≈ 1.5×10¹⁰ cm⁻³ (300K)

利点: 安価、SiO₂が天然の絶縁層となる、プロセス技術が確立されている

その他の材料

ドーピング (Doping)

真性半導体の問題点

純粋なシリコンは室温下で導電性が極めて弱い (ni が低すぎる) ため、導電率を変更するために意図的に不純物を添加する必要があります。

N型ドーピング (5価元素の添加)

     Si       Si       Si
      │        │        │
  Si ─ P ─ Si      Si ─ As ─ Si
      │        │        │
     Si       Si       Si
      │                  
      e⁻  ← 余分な「自由電子」

ドナー (Donor): P, As, Sb (5価)
多数キャリア: 電子 (electron)
多数キャリア濃度 n ≈ Nd (ドナー濃度)

P型ドーピング (3価元素の添加)

     Si       Si       Si
      │        │        │
  Si ─ B ─ Si      Si ─ Al ─ Si
      │        │        │
     Si       Si       Si
      │
      h⁺  ← 電子が欠けている = 「正孔」

アクセプター (Acceptor): B, Al, Ga (3価)
多数キャリア: 正孔 (hole)
多数キャリア濃度 p ≈ Na (アクセプター濃度)

ドーピング濃度の範囲

軽ドーピング: 10¹⁴ ~ 10¹⁶ cm⁻³  (基板、高抵抗領域)
中ドーピング: 10¹⁶ ~ 10¹⁸ cm⁻³  (チャネル、ベース領域)
重ドーピング: 10¹⁸ ~ 10²⁰ cm⁻³  (ソース・ドレイン、エミッタ領域)
強ドーピング: > 10²⁰ cm⁻³       (オーム接触)

キャリア

2種類のキャリア

電子 (Electron): 伝導帯中の自由電子、負電荷を持つ
正孔 (Hole):     価電子帯中の電子の空位、正電荷を持つ粒子として振る舞う

真性半導体: n = p = ni
N型半導体: n >> p  (電子が多数キャリア)
P型半導体: p >> n  (正孔が多数キャリア)

質量作用の法則: n × p = ni²  (熱平衡状態で常に成立)

移動度と導電率

ドリフト速度: v = μ × E
  μ: 移動度 (cm²/V·s) — 電子は正孔より約3倍速い

導電率: σ = q × (nμn + pμp)
  q: 電子電荷

抵抗率: ρ = 1/σ

拡散

濃度勾配により、キャリアが高濃度領域から低濃度領域へ拡散する
拡散電流 ∝ 濃度勾配 (dC/dx)

アインシュタインの関係式: D/μ = kT/q = VT ≈ 26mV (300K)

温度効果

総括: 温度↑ → 半導体の抵抗↓ (NTC特性、金属とは逆!)

キーワード: 帯構造, 伝導帯, 価電子帯, 禁制帯, フェルミ準位, ドーピング, N型, P型, キャリア, 移動度, 拡散