PID制御

比例動作は現在の偏差に反応し、積分動作は補償量を保持し、微分動作は変化に反応します。応答と安定性を前提に、まず飽和のない連続制御を分析します。

P：現在の偏差から操作する

$u=u_b+K_{p}e$、$u_b=0.4$、$e=r-\theta$とすると、熱モデルの定常偏差は

$$e_{\infty }=\frac{k(r-{\theta }_a)-P_{\max }{u}_b-d}{k+P_{\max }{K}_p}.$$

目標40 °C、周囲10 °C、基準パラメータ、$d=0$、$K_p=0.04$では$200/60=3.33$ Kです。ゲインを増やすと偏差は減りますが、測定雑音による操作変動や飽和の可能性も増えます。

P制御で必ず偏差が残るわけではありません。積分特性を持つ対象なら、安定な比例閉ループでステップに偏差なく追従できる場合があります。対象、入力、基準操作、安定条件を指定します。

I：補償量を状態として保存する

$z$を積分による操作への寄与として定義します。

$$u_c=u_b+K_{p}e+z,\dot{z}=K_{i}e.$$

$K_i$の単位は${\mathrm{K}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-1}$、$z$は無次元です。正の偏差で増え、偏差がゼロになると変化が止まります。値自体が消えるわけではありません。周囲10 °Cで40 °Cを保つには$u=0.6$が必要なので、$z=0.2$を保持します。安定性、実現可能性、偏りのない測定、持続的な飽和がないことが必要です。

PIで状態が一つ増え、特性多項式は

$$C_{\mathrm{th}}{s}^2+(k+P_{\max }{K}_p)s+P_{\max }{K}_i=0.$$

$K_p=0.04,K_i=0.001$なら$s^2+0.03s+0.0005$で、極は$-0.015\pm 0.01658j$です。振動モードは積分状態から生じています。

目標を40 °Cに保ち、100 sで周囲温度を20から10 °Cへ下げます。P、PI、フィルタ付きPIDと各項の寄与を比較します。要求は制限せず、0–1の物理範囲内かを表示します。実際の飽和は制約の章で扱います。

D：測定値の変化をフィルタ付きで使う

理想的な並列PIDは$u_c=u_b+K_{p}e+K_i\int edt+K_d\dot{e}$です。目標のステップを微分すると微分キックが生じるため、測定値を微分する構成がよく使われます。

$${\tau }_f{\dot{y}}_f=y_m-y_f,u_D=-K_d\frac{y_m-y_f}{{\tau }_f}.$$

測定から操作への伝達は$-K_{d}s/({\tau }_{f}s+1)$で、高周波ゲインは有限です。偏差の微分と測定値の微分は異なり、後者では目標変化自体を微分しません。

$K_d=1$ s/K、${\tau }_f=5$ s、$y_m=38$ °C、$y_f=37.5$ °Cなら$u_D=-0.1$です。温度が上昇しているため加熱を減らします。初回測定でフィルタを初期化するなど、起動時の不自然なスパイクを避けます。Dは観測した傾向を使うもので、未知の未来の外乱を予知しません。

一回の計算を追う

$e=2$ K、$z=0.15$、$u_D=-0.1$、$K_p=0.04$なら、要求は$0.4+0.08+0.15-0.1=0.53$です。1 sの前進積分では$z_{j+1}=0.15+0.001\times 2\times 1=0.152$です。ここでは現在の操作を計算してから状態を更新します。更新後の値を使う実装なら、その順序を一貫させます。

パラメータ形式にも注意します。$K_p[1+1/(T_{i}s)+T_{d}s]$なら$K_i=K_p/T_i$、$K_d=K_p{T}_d$です。フィルタ形式は別途確認し、離散係数にはサンプリング周期を反映させます。

複数の条件で調整する

最初に帰還の向き、時定数、操作可能範囲を確認します。PまたはPIから始め、Dを追加する理由を明確にします。目標変更、負荷変更、雑音、初期偏差、飽和を試し、出力だけでなく要求、実際の操作、積分状態を記録します。経験的な調整則には対象と試験条件があり、普遍的保証ではありません。

理解を確かめる

偏差がゼロでもPIが基準より多く加熱するのはなぜですか。

測定雑音が多いならDを増やすべきですか。

発展資料

python-controlのクルーズ制御例では制限付きPIを扱います。MathWorksの例は、バック計算と条件付き積分を比較しています。