制約とロバスト性

制御器が120%の加熱を要求しても、実際には100%しか出せません。積分器がこの差を無視すると内部状態が蓄積し、達成可能な目標へ戻した後も回復が遅れます。PIDと周波数領域の解析をつなぎます。

要求と実際の操作

制限前の要求を$u_c=u_b+K_{p}e+z$とし、実操作を

$$u=\mathrm{clip}(u_c,0,1)$$

とします。熱対象に入るのは$u$です。周囲20 °C、熱損失20 W/K、最大1000 Wでは、最高の平衡温度は70 °Cです。積分ゲインを上げても目標80 °Cには届きません。

$\dot{z}=K_{i}e$では、飽和中も正の偏差が続く限り$z$が増えます。目標を40 °Cへ下げ、偏差が負になっても、蓄積を解消する時間が必要です。出力の制限だけでは内部状態の増加は止まりません。

40 °Cから80 °Cを要求し、200 sで40 °Cに戻します。バック計算の有無で、温度、要求、実操作、積分寄与を比較します。アンチワインドアップによって80 °Cが達成可能になるわけではありません。

バック計算と条件付き積分

バック計算は、実操作と要求との差を積分状態に戻します。

$$\dot{z}=K_{i}e+\frac{u-u_c}{T_t},T_t>0.$$

上限飽和では補正項が負です。$e=10$ K、$K_i=0.001$、$u_c=1.4$、$u=1$、$T_t=20$ sなら、補正なしの+0.01に対して$\dot{z}=0.01-0.02=-0.01{\mathrm{s}}^{-1}$です。$T_t$を小さくすると内部追跡は速くなりますが、速すぎる動特性を導入する可能性もあります。

条件付き積分は、飽和していて偏差がさらに制限の外へ押すときに積分を止めます。有効範囲に戻す方向の積分は許可します。「飽和したら常に凍結」ではありません。

フィードフォワード、別の制御器、変化率制限を含む場合、正しい位置での実操作を追跡に使います。手動から自動への切替でも、積分状態を合わせて急変を避けます。MathWorksの例は、バック計算、クランプ、外部追跡を区別しています。

感度関数で経路を分ける

単位負帰還、出力端外乱$d_o$、測定$y+n$、ループ$L=PC$とします。$y=PC(r-y-n)+d_o$を整理すると

$$S=\frac{1}{1+L},T=\frac{L}{1+L},y=Tr+S{d}_o-Tn.$$

$T$は目標から出力、符号を反転すると雑音から出力の経路です。$S$はこの出力外乱の経路です。一方、$u=CSr-CS{d}_o-CSn$なので、出力雑音が小さくても操作が激しく変化する場合があります。

対象入力端の外乱なら経路は$PS$です。熱モデルの追加電力には、デューティ比から温度へのゲインではなく、電力から温度へのモデルを使います。外乱の位置を先に描きます。

$S+T=1$は複素数の関係で、$|S|+|T|=1$ではありません。同じ周波数で両方を任意に小さくはできませんが、周波数全体の「水床効果」の積分式には追加条件が必要です。

不確かさを定義する

制御器を固定し、熱容量、熱損失、遅れを別々に変えます。追従、外乱回復、操作ピーク、飽和時間を比較します。熱容量は主に動特性、熱損失は静的ゲインも、遅れは位相を変えます。

形式的には$P=P_0(1+W\Delta )$と書き、$W$で乗法的不確かさを表し、安定な$\Delta$に$\Vert \Delta {\Vert }_{\infty }\le 1$を課します。公称内部安定性と適切な相互接続などの条件下で、$\Vert W{T}_0{\Vert }_{\infty }<1$は小ゲイン定理によるロバスト安定の十分条件です。数点のパラメータ走査だけで集合全体を証明したことにはなりません。

理解を確かめる

上限飽和中に偏差が負になった場合も積分を止めますか。

出力が滑らかなのに操作が頻繁に変わるのはなぜですか。

発展資料

python-controlのSISOロバスト制御例では周波数重みで要求を表します。実際の検証ではモデルの有効範囲、操作制約、測定品質も確認します。