伝達関数と極

同じ系を微分方程式、状態更新式、伝達関数で表せます。伝達関数は線形な動的要素の結合を扱いやすくします。動的モデルとPID制御を前提に、動作点からの偏差を使います。

微分を代数関係へ変換する

片側ラプラス変換は、収束する領域で$X(s)={\int }_0^{\infty }x(t)e^{-st}dt$です。微分は$\mathcal{L}\{\dot{x}\}=sX(s)-x(0)$へ変換されます。$s=\sigma +j\omega$は指数的な増減と振動を表します。

温度偏差の式$2000\dot{x}+20x=1000v$は、初期値ゼロなら

$$(2000s+20)X=1000V,P(s)=\frac{X}{V}=\frac{50}{100s+1}.$$

$v$はデューティ比の偏差、$x$は温度偏差です。$x(0)\ne 0$なら、変換した応答に$2000x(0)/(2000s+20)$も加わります。伝達比だけでは初期値問題全体を表せません。

$P(0)=50$ K/デューティ比が静的ゲイン、極$-0.01$は$e^{-0.01t}$の減衰に対応します。LTIモデルであり、飽和や動作点の変化を自動的に含むものではありません。

閉ループ分母の導出

単位負帰還では$E=R-Y$、$U=CE$、$Y=PU$です。整理すると

$$(1+PC)Y=PCR,\frac{Y}{R}=\frac{PC}{1+PC}.$$

$1+PC=0$の分母を払って特性方程式を得ますが、実現に含まれる内部モードも確認します。センサに$H(s)$の動特性があれば分母は$1+PCH$であり、フィルタもループの一部です。

$C=K_p$なら

$$\frac{Y}{R}=\frac{50K_p}{100s+1+50K_p},p=-\frac{1+50K_p}{100}.$$

$K_p=0.04$では極$-0.03$、時定数33.33 sですが、目標温度1 Kのステップに対する最終増分は$2/3$ Kです。速さと正確さは別の性質です。

PIの極とゲイン

$C=K_p+K_i/s$では分母は

$$100s^2+(1+50K_p)s+50K_i.$$

$K_p=0.04$を固定すると、$K_i=0.0002$の極は$-0.00382,-0.02618$、$K_i=0.001$では$-0.015\pm 0.01658j$です。積分を強めると二つの実モードが振動モードに変わります。正の係数による安定性は、この遅れのない二次式についての結論です。

根の和が$-0.03$、積が$0.5K_i$であることを確かめます。判別式がゼロになる$K_i=0.00045$で根が一致します。根軌跡はパラメータに応じた極の位置であり、物体の運動軌跡ではありません。

零点と隠れた状態

$G_1(s)=1/(s+1)$と$G_2(s)=(1-s)/(s+1)$は、極$-1$と静的ゲイン1を共有します。しかし単位ステップ応答は$1-e^{-t}$と$1-2e^{-t}$です。後者は直接通路を持ち、最初に−1へ跳んでから1に近づきます。右半平面零点は逆応答や設計制約を生じさせる場合があり、安定な極だけで過渡応答は決まりません。

内部不安定性が見えない場合もあります。${\dot{x}}_1=-x_1+u$、${\dot{x}}_2=x_2$、$y=x_1$では伝達関数は$1/(s+1)$ですが、非ゼロの$x_2(0)$は指数増大します。約分後の分母だけでなく状態実現を確認します。

計算を再現する

次の例はpython-control 0.10.2のAPIを使います。feedbackの既定は負帰還です。

import control as ct
P = ct.tf([50], [100, 1])
C = ct.tf([0.04, 0.001], [1, 0])
closed_loop = ct.feedback(P * C, 1)
print(ct.poles(closed_loop))
# Approximately: -0.015 +/- 0.016583j

これは指定した線形モデルの計算であり、一般の非線形安定性の証明ではありません。

理解を確かめる

初期温度偏差が非ゼロなら、なぜ$Y=PU$だけでは不足しますか。

極が同じならステップ応答も同じですか。

発展資料

python-controlの線形系ガイドでは伝達関数と状態空間を扱います。変数、単位、初期条件を実物のモデルと対応させます。