响应与稳定性

一条温度曲线最后接近目标，并不自动说明控制器在所有条件下稳定；两条都稳定的曲线，也可能在速度和超调上差别很大。本篇把这些判断拆开。需要动态建模中的状态、平衡与指数响应。

自由响应与输入响应

对线性模型，响应可分成初始状态产生的自由响应，与输入产生的强迫响应。温控的一阶模型在恒定输入下有

$$\theta (t)={\theta }_{\infty }+({\theta }_0-{\theta }_{\infty })e^{-t/\tau }.$$

第二项描述初始偏离的衰减。改变初始温度与改变目标值是不同试验；判断控制器时要记录初值、输入、扰动、观察时间和执行器上限。

一阶响应为什么不振荡？

对一阶热对象施加 $u=u_b+K_p(r-\theta )$，在未饱和、无延迟、参数为正时，偏离新平衡的状态满足

$$\dot{x}=-\frac{k+P_{\max }{K}_p}{C_{\mathrm{th}}}x.$$

因此闭环时间常数为 $C_{\mathrm{th}}/(k+P_{\max }{K}_p)$。取 $K_p=0.04$，得到 $2000/(20+40)=33.33$ s。其响应单调回归平衡，增大正增益并不会凭空产生第二个状态。实际高增益出现振荡时，需要查找被忽略的传感器滤波、执行器动态、积分或延迟。

两个状态怎样带来振荡？

质量—弹簧—阻尼系统满足

$$m\ddot{q}+b\dot{q}+k_{s}q=F.$$

位置 $q$ 与速度 $v=\dot{q}$ 都是状态。物体经过平衡位置时仍可能有速度，于是继续运动；阻尼不断消耗机械能。对单位静态增益的标准二阶系统，写成

$$\ddot{y}+2\zeta {\omega }_n\dot{y}+{\omega }_n^{2}y={\omega }_n^{2}r,$$

其中 ${\omega }_n=\sqrt{k_s/m}$、$\zeta =b/(2\sqrt{m{k}_s})$。${\omega }_n$ 单位为 rad/s，$\zeta$ 无量纲。$0<\zeta <1$ 是欠阻尼，$\zeta =1$ 是临界阻尼，$\zeta >1$ 是过阻尼。这些称呼针对该二阶模型。

当初值为零、$r$ 是单位阶跃、$0<\zeta <1$ 时，令 ${\omega }_d={\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$：

$$y(t)=1-e^{-\zeta {\omega }_{n}t}\left[\cos ({\omega }_{d}t)+\frac{\zeta }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}\sin ({\omega }_{d}t)\right].$$

指数包络衰减，正弦项在包络内往复变化。第一峰超调比例为 $M_p=e^{-\pi \zeta /\sqrt{1-{\zeta }^2}}$。取 ${\omega }_n=1$、$\zeta =0.5$，峰值时间 $t_p=\pi /{\omega }_d\approx 3.63$ s，超调约16.3%。

改变阻尼，比较输出与速度。速度穿过零的位置对应输出的峰或谷；曲线穿过目标时，速度通常不为零。临界阻尼在该标准模型中无振荡，但“任何系统临界阻尼都最快”不是通用结论。

稳定性究竟在说什么？

标准二阶模型中 $\zeta >0$ 时两个模态衰减；$\zeta =0$ 的理想无阻尼系统自由振荡有界却不衰减，对共振频率的有界正弦输入可产生无界响应。因此“自由振荡幅度有限”不能证明 BIBO 稳定。$\zeta <0$ 则是负阻尼，扰动会被放大。

一般非线性系统可用能量式函数寻找稳定性证据。例如无输入机械系统的 $V=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}{k}_s{q}^2$ 满足 $\dot{V}=-b{v}^2\le 0$。这说明能量不增加；若进一步证明 $\dot{V}=0$ 中唯一可长期停留的轨迹是原点，才得到该系统的渐近收敛。完整 Lyapunov 与不变集方法属于后续专题。

指标是有定义的测量

上升时间必须说明采用10%–90%还是其他阈值；调节时间是进入指定误差带后不再离开的时间；超调以终值或指定阶跃幅度为基准。常用 $t_s\approx 4/(\zeta {\omega }_n)$ 是欠阻尼二阶系统2%带宽下的工程近似，不能替代所有情况下的精确判断。

有限窗口仿真只能报告“本窗口内最后进入误差带的位置”，不能保证未来不再越界。目标为零时，百分比误差带没有天然尺度，应给出绝对容差。稳定性、稳态误差、速度、控制功率要分别报告。

自检

一个系统以固定幅度持续振荡。它是否渐近稳定？这条轨迹能否证明 BIBO 稳定？

$\zeta =0.5$ 不变，${\omega }_n$ 从1变成2。标准单位阶跃的超调与第一峰时间怎样变化？

延伸

Caltech 控制系统课程将建模、状态空间、相图和稳定性结合讲解。本文保留可手算的一阶与二阶例子；下一篇加入控制器自身的状态。