基本物理量与定律

10 V 电源接上几只电阻，为什么某个节点只有约 4.84 V？电流走过电阻后是否被“消耗”了？示波器上同样标着 5 V 的两个波形，为什么发热不同？这些问题需要把电荷、能量、方向和连接关系分清。本篇先建立量与符号，再用一个完整电路把欧姆定律、KCL、KVL 和功率核算连起来。

从电荷到电路量

电荷、电场和电位差

电荷用 q 或 Q 表示，单位库仑 C。元电荷大小 e = 1.602176634 × 10⁻¹⁹ C 是 SI 中的精确定义值；电子带的是 −e，不是 +e。1 C 的电荷量大小约等于 6.24 × 10¹⁸ 个元电荷。BIPM：SI 定义常数

电场是空间中描述电力作用的矢量，定义为正试探电荷所受的力除以电荷量：E = F/q，单位 N/C，也等于 V/m。真空中两静止点电荷的库仑力大小为 k|q₁q₂|/r²；常数 k 约为 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。距离加倍时，力大小变为四分之一；方向还取决于位置和电荷正负，不能只看这个标量式。

在静电条件下，可以用电位描述电场：u_AB = φ_A − φ_B = ∫从A到B E·dl。电压因此总是两点之间的量。正电荷 q 从 A 移到 B，电场做功 q·u_AB，其电势能减少同样的量。1 V = 1 J/C，但不能忽略移动方向，把它理解成任意移动 1 C 都“消耗”1 J。

电路中的 0 V 是选定的参考节点，不必是大地，也不是没有电荷。把所有节点电位同时加上 100 V，不会改变两点间电压，理想电路中的电流也不因此改变。涉及外壳、人体或其他电路时，仍需明确它们与参考节点之间的实际电位差。

电流描述通过速率，电压描述能量差

瞬时电流 i = dq/dt；在一段时间内，平均电流为 Δq/Δt。1 A = 1 C/s。若恒定 2 mA 持续 3 s，经过截面的电荷量为 6 mC。金属中的传导电子平均漂移方向与约定电流方向相反；其他介质也可能由正离子等载流子传导，不应把“电流”定义成电子流。

电阻发热消耗的是电能，并非使经过它的电流逐渐减少。稳态串联支路各截面的电流相同；若某处持续流入比流出更多的电荷，该处就会积累电荷并改变电场，不能继续维持原来的稳态。

“水压—水流”可以帮助区分电压与电流，但电路信号传播不是等待同一个电子从电源跑到负载。传播与电磁场以及导体周围的介质有关；不能根据电子漂移速度推断开关响应时间。

电阻与欧姆定律的适用条件

理想线性电阻满足 u = Ri，R 为正且在采用的模型中不随电流变化，电导 G = 1/R，单位西门子 S。均匀、等截面的导体可近似使用 R = ρL/A：加长导线增大电阻，加大截面积降低电阻；电阻率 ρ 的单位为 Ω·m，并随材料和温度等条件变化。

对一般器件，可以在某个工作点计算 u/i，但这不证明其整条伏安曲线线性。微小扰动对应的微分电阻 du/di 还可能与 u/i 不同。二极管通常不能用一个固定 R 描述，半导体材料制成的电阻却可以在一定范围内近似欧姆性；“所有半导体都不适用”不是正确边界。

参考方向与功率

先选电压正负端和电流箭头，再列式。采用被动符号约定时，电流参考方向进入电压正端，瞬时吸收功率为 p = ui。p > 0 表示吸收能量，p < 0 表示向外提供能量。电源放电时也可以用同一规则计算，只是结果为负。

如果沿假设箭头算出 −0.2 A，表示实际电流沿反方向为 0.2 A；保持原符号继续代入即可，不要一边改箭头一边又保留负号。1 W = 1 J/s，1 kWh = 3.6 × 10⁶ J。能量与功率不是同一量，电池的 Wh 与设备的 W 不能直接相加。

从连接关系列方程

串并联看节点

理想导线直接连接的点属于同一节点。两元件首尾相接，而且中间节点没有其他分流支路，才可视为串联，电流相同，等效电阻为 R₁ + R₂。两元件两端分别连接同一对节点，才是并联，电压相同，等效电导为 1/R₁ + 1/R₂。

因此两正电阻并联时 R_eq = R₁R₂/(R₁ + R₂)，应小于其中任一个。桥式电路未必能从外观逐层串并联化简；此时回到节点和回路方程即可，不能硬把共用一个节点的元件算作并联。

KCL：节点上的电荷守恒

在不储存净电荷的理想节点模型中，流入电流之和等于流出之和。更一般地，有限区域满足“流入 − 流出 = 区域内电荷变化率”。普通集总电路把储能效应放进电容等元件及其支路电流，不是说电路内永远不能积累电荷。

KVL：沿回路一致地计算电位变化

在适用的集总电路模型中，沿闭合回路把各支路电压按统一方向相加，代数和为零。穿过电阻，沿其电流方向为压降 −IR；从理想电压源负端走到正端为 +V。走完一圈必须回到原电位。OpenStax：Kirchhoff 定律

这不意味着所有电场都是保守场。变化磁通会产生感应电动势，场论形式有 ∮E·dl = −dΦ_B/dt；分析电感、变压器或磁耦合时，需要把对应感应效应纳入模型。导线传播延迟和空间分布不可忽略时，还需要传输线等模型，不能只凭“导线电阻很小”就把整段当作等电位点。

完整数值推演：2 Ω 串联 3 Ω 与 5 Ω 的并联

下面只采用理想直流模型。R₁ 后的节点 A 分出 R₂、R₃ 两路，底部导线作为 0 V。电源上端为 +10 V。这个连接决定 I₁ = I₂ + I₃，而不是三个电阻同电流。

先化简并联：R₂₃ = 3×5/(3+5) = 15/8 Ω。总电阻为 2 + 15/8 = 31/8 Ω，因此 I₁ = 10/(31/8) = 80/31 A ≈ 2.581 A。

节点 A 的电压为 U_A = I₁R₂₃ = 150/31 V ≈ 4.839 V。两支路电流分别为 I₂ = U_A/3 = 50/31 A，I₃ = U_A/5 = 30/31 A；电阻更小的支路分得更多电流。

也可以直接从 A 点列节点方程：(10 − U_A)/2 = U_A/3 + U_A/5。左边是从电源经过 R₁ 流入的电流，右边是两条流出支路。两种解法应得到同一个 U_A。

功率还能发现只靠代数不容易注意到的符号错误。三电阻吸收功率分别为 12800/961、7500/961、4500/961 W，总计 800/31 W；电源提供 10×80/31 = 800/31 W。按被动约定把电源吸收功率计为负，各元件功率代数和正好为零。这是算术教学电路，不是指定实际电阻功率等级的搭建方案。

from fractions import Fraction as F
r1, r2, r3, vs = F(2), F(3), F(5), F(10)
r_parallel = 1 / (1/r2 + 1/r3)
i1 = vs / (r1 + r_parallel)
va = vs - i1*r1
i2, i3 = va/r2, va/r3
assert (i1, i2, i3, va) == (F(80,31), F(50,31), F(30,31), F(150,31))
assert i1 - i2 - i3 == 0
assert vs - i1*r1 - i2*r2 == 0
assert vs - i1*r1 - i3*r3 == 0
assert i1*i1*r1 + i2*i2*r2 + i3*i3*r3 == vs*i1
print("节点、两个回路及功率平衡均通过精确分数核验")

电流在哪里分开？

先增大 R3：这条支路电流减小，但节点 A 电位会上升，因此 R2 的电流也会变化。两条支路并非各自从固定电压源取电。把三个电流代回 KCL，再核对功率，可以同时检查连接和符号。

波形与有效值

常量直流在理想模型中不随时间变化；实际电源可能叠加纹波。一般周期信号则同时有平均值、幅度、周期和形状，单说“5 V 信号”不足以确定功率或接口兼容性。

有效值不是“幅度乘 0.707”的通用换算。它定义为 V_rms = √[(1/T)∫u²(t)dt]。对固定理想电阻，平均功率为 V_rms²/R，因此它等效的是发热，不是平均电压。零偏置正弦 A sin(ωt+φ) 才有 V_rms = A/√2。OpenStax：交流电路

对 0 到 A 的理想矩形脉冲，若高电平占周期的 D，平均值为 AD，有效值为 A√D。A = 5 V、D = 25% 时，平均值 1.25 V，但有效值是 2.5 V；对 100 Ω 电阻的平均功率为 2.5²/100 = 62.5 mW，不能用 1.25²/100 得到的 15.625 mW 代替。

带直流偏置的正弦 u = U₀ + A sin(ωt) 有 V_rms² = U₀² + A²/2。对于一般交流负载，平均功率需计算平均的 u(t)i(t)；电压与电流的有效值乘积不一定等于有功功率，因为相位和波形相关性也会影响结果。

有效值为什么先平方？

上下两张图使用同一个时间轴。缩短高电平只缩小矩形面积，不改变其高度。功率由下图面积决定，因此 D=25% 时有效值是峰值的一半，而不是四分之一；D=0 或 1 时两种算法才在此模型中相同。

$$U_{rms}=A\sqrt{D},\overline{P}=\frac{A^{2}D}{R}$$

单位速查与下一步

大小写有意义：MΩ 和 mΩ 相差 10⁹ 倍。代入公式时统一单位，算完再转换；如果得到数量级反常的结果，先核对前缀、方向和连接，再怀疑定律。

接着阅读 直流电路分析，把同一套守恒关系推广到节点法、叠加与端口等效。元件的实际偏差、温漂和功率限制见 电阻。