直流电路分析

用两只相等的电阻把 12 V 分成 6 V，接上负载却只剩 4 V，并不违反分压公式：负载改变了电路。要分析这类问题，需要从“背公式”转向辨认端口、写出方程，再判断简化模型保留了哪些关系。本篇以同一个分压器贯穿负载效应、节点法、戴维南等效和 RC 暂态。

基本符号与 KCL/KVL 见 基本物理量与定律。以下默认理想线性电阻和电源；非线性器件需要另建模型。

分压器为什么怕负载

R₁ 从理想输入电压 Vin 接到输出 A，R₂ 从 A 接参考地。空载时两电阻串联，所以 Vout = Vin·R₂/(R₁+R₂)。输出接入 R_L 后，下臂变成 R₂∥R_L，必须把公式中的 R₂ 替换成这个并联值。

取 Vin = 12 V，R₁ = R₂ = 10 kΩ。空载电流为 0.6 mA，输出 6 V；接入 R_L = 10 kΩ 后，下臂是 5 kΩ，总电流变成 0.8 mA，输出降至 4 V。下臂两路各 0.4 mA，与上臂的 0.8 mA 相加相符。

“R_L 要远大于 R₂”是粗略充分条件，更准确的尺度是输出等效电阻 R_th = R₁∥R₂。加载后相对空载的电压下降比例为 R_th/(R_th+R_L)。若只允许下降不超过 1%，则需要 R_L ≥ 99R_th；本例是至少 495 kΩ。这只是静态加载误差预算，还没有包含电阻误差、输入电压波动与输入漏电。

增大分压电阻可以降低静态耗电，却会提高输出电阻，使漏电和电容充电的影响更明显。因此分压器适合有限条件下的比例采样或偏置，不能自然当作稳定供电输出。连接开关采样输入时，还要检查采样电容的建立时间，不能只看标称输入电阻。

分流也来自相同的节点关系：两正电阻并联承受同一电压，I₁/I₂ = R₂/R₁，所以 I₁ = I总·R₂/(R₁+R₂)。有限正电阻支路通常都有电流，不是电流“只选择最小电阻的路”。

节点法与网孔法：把连接翻译成方程

节点法先选未知电位

本例只有 A 点未知。从 A 流出的各支路电流相加为零：

(V_A − 12)/10k + V_A/10k + V_A/10k = 0。

乘以 10k 后得到 3V_A − 12 = 0，因此 V_A = 4 V。第一项是负的，表示该支路实际流入 A，不是公式出错。一般两节点之间电阻支路，从 A 到 B 的参考电流为 (V_A−V_B)/R。

若理想电压源连接某节点与参考地，该节点电位直接已知。若它跨接两个未知节点，可把它们组成超节点，对外列 KCL，并补上两节点电压差约束。不要把理想电压源“电阻等于零”直接代入除法，制造除零式。

网孔电流是计算变量，不等于每条支路电流

对图中的两个窗口都定义顺时针网孔电流 i_a、i_b。左网孔含电源、R₁、R₂；右网孔含 R₂、R_L。共用的 R₂ 上，两网孔方向相反，因此向下的支路电流是 i_a−i_b。

对应方程为：

• (R₁+R₂)i_a − R₂i_b = 12；
• −R₂i_a + (R₂+R_L)i_b = 0。

代入三个 10 kΩ 得 i_a = 0.8 mA，i_b = 0.4 mA；R₂ 电流为 0.4 mA，结果与节点法一致。网孔法针对平面电路的网孔组织方程；含网孔边界电流源时可能需要超网孔及电流约束。选哪种方法主要看未知量和约束是否更少，不需要每次同时使用两种方法。

叠加：关闭的是独立激励，保留网络关系

在线性电路中，可以分别计算各独立源引起的电压或电流响应，再按符号相加。独立理想电压源置零变成短路，独立理想电流源置零变成开路；真实源模型中的串联或并联电阻仍保留。受控源依赖电路变量，不能像独立源一样任意关掉。MIT：电路抽象与叠加

另取一个简单节点 N：它分别通过三只 10 kΩ 电阻接到 12 V、6 V 和地。节点式为 (V_N−12)/10k + (V_N−6)/10k + V_N/10k = 0，得 V_N = 6 V。只保留 12 V 源时贡献 4 V，只保留 6 V 源时贡献 2 V，总和仍是 6 V。

但接地电阻的实际功率为 6²/10k = 3.6 mW。把两次单独结果的功率相加只有 4²/10k + 2²/10k = 2 mW，漏掉了平方展开中的交叉项。正确做法是先叠加所求电压或电流，再计算功率。

电容、电感的线性动态响应也能使用叠加，但还要处理初始储能的贡献。二极管整流等非线性过程通常不能直接逐源相加；小信号线性化得到的局部模型才有对应的适用范围。

戴维南与诺顿：只替换端口外观

将负载取下，从 A 与地看入原分压器。开路电压 V_th = 6 V；把独立 12 V 理想电源置零后，从端口看进去，两只 10 kΩ 都接地，所以 R_th = 5 kΩ。原网络可在这个端口上等效为 6 V 电压源串联 5 kΩ。

设负载从端口抽取电流 I，端口关系是 V = V_th − IR_th。接 R_L 后，I = V_th/(R_th+R_L)，端口电压为 V_th·R_L/(R_th+R_L)。它复现了前面的 4 V，却不要求知道每次负载变化后原网络内部各支路如何分流。

诺顿形式是电流源 I_N = V_th/R_th = 1.2 mA 与 5 kΩ 并联，方向选为向输出节点供流。短接端口时全部电流经过短路；开路时电流流经并联电阻，产生 6 V。这里的短路电流是理想模型计算，不要求对真实电源执行短路测量。

有受控源时怎么求等效电阻

保留受控源，只将独立源置零，在端口施加测试电压或测试电流，再求 R_th = V_test/I_test；电流方向取进入网络。受控源可能改变端口电阻，不能只把可见电阻做串并联。MIT：含受控源的端口等效例题

这些等效要求端口关系能够用对应的有限参数表示。理想电流源、理想电压源等极限形式不一定能用有限的另一种源参数互换；有源网络的等效电阻也可能不是正数。直流电阻等效不能直接代替含储能元件的全部时域行为；正弦稳态要使用对应频率的阻抗，暂态还要保留初始条件。

最大功率、效率与输入输出阻抗

对于固定 V_th、正 R_th 和可变的正电阻负载，P_L = V_th²R_L/(R_th+R_L)²，在 R_L = R_th 时最大。本例 R_L = 5 kΩ，负载电压 3 V，P_L = 1.8 mW。

在“理想源串联实际耗散电阻”的模型中，此时串联电阻与负载耗散相等，效率为 50%。⁠端口等效不保留原网络内部功耗⁠，所以不能把这个 50% 当成任意复杂网络的实际效率。例如本例原分压器在此负载下，电源电流为 0.9 mA、输入功率 10.8 mW，负载只得到 1.8 mW，实际比例为 1/6。

输入电阻描述端口对前级的加载，输出电阻描述输出随负载的变化；在动态场景中应说输入/输出阻抗。理想电压放大器常取高输入、低输出阻抗，而电流放大器常取低输入、高输出阻抗，这是端口类型的模型目标，不是所有放大电路统一的设计规则。

负载与源在哪里达成同一个工作点？

把 RL 调到 5 kΩ，负载功率达到该端口模型的最大值。此时比较两个效率读数：负载得到的功率相同，内部输入功率却不同。图上的端口重合无法证明网络内部也等价。

$$V=V_{th}-I{R}_{th}=I{R}_L,P_L=\frac{V_{th}^2{R}_L}{(R_{th}+R_L{)}^2}$$

RC 暂态：先找初值和终值，再找电容看到的电阻

给原分压器输出端接一只 C = 100 nF 的电容，假设它初始未充电，t = 0 后接通 12 V 输入。没有 R_L 时，电容看到的戴维南源为 6 V 与 5 kΩ。由电阻电流等于电容电流，有 C·dv/dt = (6−v)/5k，变化速度与“离终值还差多少”成正比，因此呈指数逼近。

更一般的一阶响应写作：v(t) = v∞ + (v₀−v∞)e^(−t/τ)，τ = R_seen C。这里 v₀ 是切换后的初始电容电压；在没有冲激电流的普通 RC 电路中，它等于切换前电压。v∞ 是切换后电路的稳态值，R_seen 是电容端口看到的等效电阻，计算时将独立源置零并保留其他元件。OpenStax：RC 电路

无负载时 τ = 0.5 ms，v∞ = 6 V。若 R_L = 10 kΩ 从开始就接在输出，v∞ 变为 4 V，而 R_seen = 10k∥10k∥10k = 10k/3 Ω，所以 τ ≈ 0.333 ms。不能仅改终值而仍使用原来的 RC。

经过 1τ，完成初值到终值差额的约 63.2%；经过 5τ，剩余误差约 0.674%，不是完全充满。若要求剩余误差不超过初始差额的 ε，等待时间至少为 −τ ln ε。1% 对应约 4.605τ，有负载的本例需约 1.535 ms。对于任意初值，“完成 63.2%”描述的是差额消除比例，不一定是终值本身的 63.2%。

有多个独立储能状态、非线性元件或时变参数时，不一定只有一个时间常数。断开电源后也要依据实际放电路径重算 R_seen，不能默认仍经过原来的串联电阻。

from fractions import Fraction as F
from math import exp, log, isclose
vin, r1, r2, rl = F(12), F(10000), F(10000), F(10000)
vth, rth = vin*r2/(r1+r2), 1/(1/r1+1/r2)
vl = vth*rl/(rth+rl)
assert (vth, rth, vl) == (6, 5000, 4)
assert (vin-vl)/r1 == vl/r2 + vl/rl
assert vth/rth == F(12,10000)
assert (F(4)+F(2))**2/10000 != F(4)**2/10000 + F(2)**2/10000
cap = 100e-9
tau = float(1/(1/rth+1/rl))*cap
settling = -tau*log(.01)
assert isclose(exp(-settling/tau), .01)
assert isclose(float(vl)*(1-exp(-settling/tau)), 3.96)
print(f"等效与节点式一致；1% 建立时间 {settling*1000:.6f} ms")

每个时间常数消除的是哪一段误差？

先把初值设在终值上方，曲线会下降，但同一个误差衰减式仍成立。再接入负载，终值从 6 V 变为 4 V，τ 也从 0.5 ms 变为约 0.333 ms。若初值恰等于终值，实际差额始终为零，界面的指数因子只是模型的衰减系数。

$$v-v_{\infty }=(v_0-v_{\infty })e^{-t/\tau },t_{\epsilon }=-\tau \ln \epsilon$$

Δ–Y 变换：按端点名称记公式

当网络不能直接串并联时，三端电阻网络有时可以转换。定义三角形的三边为 R_AB、R_BC、R_CA；星形从中心 O 接到 A、B、C 的三臂为 r_A、r_B、r_C。名称直接指端点，可以避免“哪个电阻在对面”的图形记忆错误。

设 S = R_AB + R_BC + R_CA，三角形转星形：

反向设 P = r_A r_B + r_B r_C + r_C r_A，则 R_AB = P/r_C、R_BC = P/r_A、R_CA = P/r_B。分母是与所求三角形边相对的星形臂。

例如三角形每边 3 Ω，等效星形每臂 1 Ω。将 C 端外部开路，原网络 A–B 间是 3 Ω 与 6 Ω 并联，等于 2 Ω；星形则是两个 1 Ω 串联，也为 2 Ω。保持的是外部三个端点之间的关系，不是内部每只电阻的电流或耗散。

分析结束时，至少把答案代回原电路的一条节点式和一条回路式。端口等效方便计算，但原网络中的功率、局部发热和元件额定值仍要回到原连接中核对。下一篇 电阻 继续把理想 R 扩展到实际器件参数。